Průběh funkce
Úloha číslo: 3040
Vyšetřete průběh funkce \(f(x)=x\sqrt{1-x^2}\).
T.j. určete definiční obor, obor hodnot, extrémy, inflexní body, asymptoty, vyšetřete monotonii, konvexitu, konkávnost, chování v krajních bodech definičního oboru. Podle těchto poznatků nakreslete její graf.
Řešení
Funkce je lichá, spojitá.
Definiční obor \(D_f=\langle -1, 1\rangle\).
\(f(x)=0\) pro \(x\in\{-1{,}0,1\}\).
\(\displaystyle f'(x)= 1\cdot \sqrt{1-x^2}+ x \cdot \frac1{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)= \sqrt{1-x^2}- \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \)
\(f'(x)=0\) pro \(x\in\{\frac{-\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\}\).
Na \(\langle-1,\frac{-\sqrt2}2\rangle\cup\langle\frac{\sqrt2}2{,}1\rangle\) klesající, na \(\langle\frac{-\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\rangle\) rostoucí.
\(f\left(\frac{-\sqrt2}2\right)=-\frac12\) je minimum, zato \(f\left(\frac{\sqrt2}2\right)=\frac12\) je maximum. Obor hodnot \(H_f=\left\langle-\frac12,\frac12\right\rangle\).
\(\displaystyle f''(x)= \frac1{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x) -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2\cdot(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}^{3}}= -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}^{3}} \)
\(f''(x)=0\) pro \(x=0\).
Na \(\langle-1{,}0\rangle\) konvexní, na \(\langle0{,}1\rangle\) konkávní. 0 je inflexní bod.
\(\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=1,\ \lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty,\ \lim_{x\to -1^+} f(x)=-\infty\).
