Sbírka matematických úloh

Průběh funkce

Úloha číslo: 3040

• Řešení

  Funkce je lichá, spojitá.

  Definiční obor $D_f=\langle -1, 1\rangle$.

  $f(x)=0$ pro $x\in\{-1{,}0,1\}$.

  $\displaystyle f'(x)= 1\cdot \sqrt{1-x^2}+ x \cdot \frac1{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x)= \sqrt{1-x^2}- \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

  $f'(x)=0$ pro $x\in\{\frac{-\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\}$.

  Na $\langle-1,\frac{-\sqrt2}2\rangle\cup\langle\frac{\sqrt2}2{,}1\rangle$ klesající, na $\langle\frac{-\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\rangle$ rostoucí.

  $f\left(\frac{-\sqrt2}2\right)=-\frac12$ je minimum, zato $f\left(\frac{\sqrt2}2\right)=\frac12$ je maximum. Obor hodnot $H_f=\left\langle-\frac12,\frac12\right\rangle$.

  $\displaystyle f''(x)= \frac1{2\sqrt{1-x^2}}\cdot (-2x) -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x^2\cdot(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}^{3}}= -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}^{3}}$

  $f''(x)=0$ pro $x=0$.

  Na $\langle-1{,}0\rangle$ konvexní, na $\langle0{,}1\rangle$ konkávní. 0 je inflexní bod.

  $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=1,\ \lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty,\ \lim_{x\to -1^+} f(x)=-\infty$.