Sbírka matematických úloh

Srovnávací kritérium - rozdíl odmocnin

Úloha číslo: 2908

• Varianta 1

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right) \).

• Nápověda

  Výraz typu \(A - B\) rozšiřte zlomkem \(\frac{A+B}{A+B}\).

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{{n^2+1}-(n^2-1)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}}\ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac2{\sqrt{4 n^2}+\sqrt{n^2}}= \frac23\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 2

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1}\right) \).

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-1}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{{n^3+1}-(n^3-1)}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-1}}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac2{\sqrt{n^3}}= 2\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\frac32} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 3

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right) \).

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{{n^2+1}-(n^2-1)}{n\left(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-1}\right)}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n\cdot n}= 2\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}\).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 4

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=2}^{\infty} \left( \sqrt{n^3 + 1} - \sqrt{n^3 - 3} \right). \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\sqrt{n^3+1}-\sqrt{n^3-3}\right)= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{{n^3+1}-(n^3-3)}{\sqrt{n^3+1}+\sqrt{n^3-3}}\le \sum_{n=2}^{\infty}\frac4{\sqrt{n^3}}= 4\sum_{n=2}^{\infty}n^{-\frac32} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.