Pokud \(a=1\), tak máme posloupnost samých \(1\) a hledaná limita je rovna \(1\).
Pro \(a>1\) budeme dokazovat, že hledaná limita je rovna \(\infty\). Využijeme Bernouliovu nerovnost
\(
(1+x)^n\geq 1+nx.
\)
pro \(x=a-1\) a dostaneme
\[
a^n=(1+(a-1))^n\geq 1+n(a-1)\geq n(a-1).
\]
Odtud dostaneme
\[
\lim_{n\to\infty}n(a-1)=\lim_{n\to\infty}n\lim_{n\to\infty}(a-1)=
\infty(a-1)=\infty.
\]
Použitím lemmatu o sevřené posloupnosti pro nevlastní limity dostaneme
\(
\lim\limits_{n\to\infty}a^n=\infty.
\)
Zbývá nám vyřešit případ \(0<a<1\). Zřejmě platí \(\displaystyle\tfrac{1}{a}>1\), a proto můžeme použít výsledek předchozí části a aritmetiku limit pro nevlastní limity a dostáváme
\[
\lim_{n\to\infty}a^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{1}{a})^n}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{a})^n}=\frac{1}{\infty}=0.
\]