Výpočet z definice
Úloha číslo: 4541
Nápověda
Definice determinatu čtvercové matice řádu \(n\)je \[\det\boldsymbol A=\sum_{p\in S_n} \operatorname{sgn}(p)\prod_{i=1}^n a_{i,p(i)}\]
Grupa \(S_2\) obsahuje dvě permutace: identitu \((1{,}2)\) s kladným znaménkem a permutaci \((2{,}1)\) se záporným. Odtud: \[ \begin{vmatrix} a_{1{,}1} & a_{1{,}2} \\ a_{2{,}1} & a_{2{,}2} \\ \end{vmatrix} = +a_{1{,}1}a_{2{,}2} -a_{1{,}2}a_{2{,}1} \]
Podobně \(S_3\) obsahuje šest permutací, z toho tři s kladným znaménkem \((1{,}2,3),(2{,}3,1),(3{,}1,2)\) a tři se záporným: \((1{,}3,2),(3{,}2,1),(2{,}1,3)\). Odtud: \[ \begin{vmatrix} a_{1{,}1} & a_{1{,}2} & a_{1{,}3} \\ a_{2{,}1} & a_{2{,}2} & a_{2{,}3} \\ a_{3{,}1} & a_{3{,}2} & a_{3{,}3} \\ \end{vmatrix} = +a_{1{,}1}a_{2{,}2}a_{3{,}3} +a_{1{,}2}a_{2{,}3}a_{3{,}1} +a_{1{,}3}a_{2{,}1}a_{3{,}2} -a_{1{,}1}a_{2{,}3}a_{3{,}2} -a_{1{,}3}a_{2{,}2}a_{3{,}1} -a_{1{,}2}a_{2{,}1}a_{3{,}3} \]
Varianta
Nad \(\mathbb R\): \(\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \)Řešení
\(\begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 5 & -2 \end{vmatrix}= 7\cdot(-2)-(-1)\cdot 5=-9 \)Odpověď
Hodnota determinantu je \(-9\).Varianta
Nad \(\mathbb R\): \(\begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} \)Řešení
\(\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 5 & -6 \end{vmatrix}= 7\cdot(-6)-(-3)\cdot 5=-27 \)Odpověď
Hodnota determinantu je \(-27\). Můžeme si všimnout, že vynásobením druhého sloupce na trojnásobek se i hodnota determinantu změnila na trojnásobek.Varianta
Nad \(\mathbb C\): \(\begin{pmatrix} 2-\mathrm i & \mathrm i+3 \\ \mathrm i-3 & 2+ \mathrm i \end{pmatrix} \)Řešení
\(\begin{vmatrix} 2-\mathrm i & \mathrm i+3 \\ \mathrm i-3 & 2+ \mathrm i \end{vmatrix}= (2-\mathrm i)\cdot(2+ \mathrm i)-(\mathrm i+3)\cdot (\mathrm i-3)=15 \)Odpověď
Hodnota determinantu je \(15\).Varianta
Nad \(\mathbb Z_5\): \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{pmatrix} \)Řešení
\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{vmatrix}= 1 \cdot{} 4 \cdot{} 3 + 2 \cdot{} 1 \cdot{} 2 + 3 \cdot{} 4 \cdot{} 3 - 1 \cdot{} 1 \cdot{} 3 - 3 \cdot{} 4 \cdot{} 2 - 2 \cdot{} 4 \cdot{} 3 = 2 + 4 + 1 + 2 + 1 + 1 = 1 \)Odpověď
Hodnota determinantu je \(1\).
