Body v rovině
Úloha číslo: 4524
Rozhodněte, zdali reálné vektory \((1, 0, 2)^\mathsf T , (2, 2, 1)^\mathsf T , (2, 1, 3)^\mathsf T , (3, 3, 2)^\mathsf T\) leží v jedné rovině.
Řešení
Označíme \(\boldsymbol u=(1, 0, 2)^\mathsf T\) a ověříme, jestli vektory dané rozdíly ostatních tří vektorů \(\boldsymbol v_1= (2, 2, 1)^\mathsf T , \boldsymbol v_2=(2, 1, 3)^\mathsf T \) a \(\boldsymbol v_3=(3, 3, 2)^\mathsf T\) s vektorem \(\boldsymbol u\) generují podprostor dimenze 2, čili rovinu.
\( (\boldsymbol v_1-\boldsymbol u, \boldsymbol v_2-\boldsymbol u, \boldsymbol v_3-\boldsymbol u)= \begin{pmatrix} 2-1 & 2-1 & 3-1 \\ 2-0 & 1-0 & 3-0 \\ 1-2 & 3-2 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)Výsledná matice má hodnost 2 což odpovídá dimenzi příslušného afinního prostoru.
Odpověď
Dané čtyři vektory leží v jedné rovině.
