Rozdíl s transpozicí
Úloha číslo: 4523
Mějme lineární zobrazení \(\mathbb R^{2\times 2} \to \mathbb R^{2\times 2} \) dané předpisem \(\boldsymbol A \to \boldsymbol A - \boldsymbol A^\mathsf T\).
Nejprve rozhodněte, které z následujících matic patří do jádra a které do obrazu:
\( \mathbf I_2, \boldsymbol J_2=\left(\begin{smallmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right), \mathbf 0_{2{,}2}=\left(\begin{smallmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right), \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Poté charakterizaci rozšiřte na všechny čtvercové matice řádu \(n\) a určete dimenze jádra i obrazu uvedeného zobrazení.
Řešení
Označme si zobrazení \(f(\boldsymbol A)= \boldsymbol A - \boldsymbol A^\mathsf T\)Dosazením zjistíme, že \(f(\mathbf I_2)=\mathbf I_2-\mathbf I_2^\mathsf T=\mathbf 0\), tedy \(\mathbf I_2\in \ker f\).
Podobně \(\boldsymbol J_2, \mathbf 0_{2{,}2}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \ker f \) a \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \notin \ker f \).
Pro určení obrazu \(f\) dosadíme do \(f\) obecnou matici \(\left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\): \(f\left(\left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\right) = \left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right) - \left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)^\mathsf T = \left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right) - \left(\begin{smallmatrix}a & c \\ b & d \end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix}a-a & b-c \\ c-b & d-d \end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix}0 & b-c \\ c-b & 0 \end{smallmatrix}\right) \)V obrazu \(f\) mohou být matice s nulami na hlavní diagonále a opačnými prvky na vedlejší diagonále.
Odtud dostáváme:
\(\mathbf 0_{2{,}2}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \in \operatorname{Im} f \),
\(\mathbf I_2, \boldsymbol J_2, \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \notin \operatorname{Im} f \).
Obecně jádro tvoří všechny symetrické matice, protože \(f(\boldsymbol A)= \boldsymbol A - \boldsymbol A^\mathsf T=\boldsymbol A - \boldsymbol A =\boldsymbol 0\).
Obraz tvoří všechny antisymetrické matice, protože každý obraz je antisymetrická matice \(f(\boldsymbol A)_{i,j}=a_{i,j}-a_{j,i}=-(a_{j,i}-a_{i,j})=-f(\boldsymbol A)_{j,i}\), a také každá antisymetrická matice \(\boldsymbol A\) je obrazem horní trojúhelníkové matice \(\boldsymbol B\) s nulami na diagonále, kde prvky nad diagonálou (tj. pro \(i \lt j\)) jsou dány předpisem \(b_{i,j}=a_{i,j}.\)
Symetrické matice jsou jednoznačně určeny prvky na diagonále a nad ní, proto má jádro dimenzi \(\tfrac{n(n+1)}2\).
Podobně antisymetrické matice jsou jednoznačně určeny prvky nad diagonálou, proto má obraz dimenzi \(\tfrac{n(n-1)}2\).
Jejich báze dohromady generují celý prostor čtvercových matic řádu \(n\), protože tento prostor má dimenzi \(n^2\), a každou matici lze zapsat jako součet symetrické a antisymetrické, viz úloha Rozklad matice.