Jádro, obraz, vzor
Úloha číslo: 4521
Řešení
Matice zobrazení vůči standardním bázím je \[ [f]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \]
Jádro zobrazení je množina řešení homogenní soustavy s touto maticí. Zde \(z\) je volná proměnná, a proto je množinou řešení \(\ker(f)=\operatorname{span}((1{,}1,1)^\mathsf T)\).
Obor hodnot je lineární obal sloupců odpovídajících bázickým proměnným, čili \(f(\mathbb R^3)=\operatorname{span}((1{,}0,-1)^\mathsf T,(-1{,}1,0)^\mathsf T)\).
Vzor vektoru \((1, 1, -2)^\mathsf T\) získáme jako afinní prostor vzniklý přičtením jednoho konkrétního řešení rovnice \(f(\boldsymbol x)=(1, 1, -2)^\mathsf T\) k jádru zobrazení. Jde o řešení nehomogenní soustavy s pravou stranou \((1, 1, -2)^\mathsf T\):
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & -2\\ \end{array} \right) \sim\sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \]Odtud \(f^{-1}((1, 1, -2)^\mathsf T)=(2{,}1,0)^\mathsf T+\operatorname{span}((1{,}1,1)^\mathsf T)\).