Zobrazení prostá a na
Úloha číslo: 4520
Označme \(P\) prostor reálných polynomů stupně nejvýše \(2\).
Rozhodněte, která z následujících lineárních zobrazení jsou prostá a která na:
Varianta
\(f:\mathbb R^{2\times2} \to \mathbb R^3\) dané předpisem \(f\left(\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\right)= (a + b + c, a + b, a)^\mathsf T\)Řešení
Sestavíme matici zobrazení vůči standardní bázi: \[[f]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\]
Hodnost matice je 3. Protože hodnost matice je menší než dimenze výchozího prostoru (definičního oboru zobrazení), není toto zobrazení prosté. Protože se hodnost matice shoduje s dimenzí cílového prostoru (oboru hodnot), je toto zobrazení na.
Varianta
\(f:\mathbb R^{2\times2} \to \mathbb R^4\) dané předpisem \(f\left(\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\right) = (a + b + c + d, a + b + c, a + b, a)^\mathsf T\)Odpověď
Zobrazení je bijekce, čili prosté i na.Varianta
\(f:\mathbb R^{2\times2} \to P\) dané předpisem \(f\left(\left(\begin{smallmatrix} a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\right) = (a + b)x^2 + (c + d)x + c\)Odpověď
Zobrazení je na, není prosté.Varianta
\(f : P \to \mathbb R^4\) dané předpisem \(f(ax^2 + bx + c) = (a - b + c, b + c, a + 2c, a - c)^\mathsf T\)Odpověď
Zobrazení je prosté, není na.Varianta
\(f : P \to \mathbb R^3\) dané předpisem \(f(ax^2 + bx + c) = (a + b, 2b - c, a - b + c)^\mathsf T\)Odpověď
Zobrazení není prosté ani na.Varianta
\(f : P \to \mathbb R^3\) dané předpisem \(f(ax^2 + bx + c) = (a + b, 2b - c, a - b + 2c)^\mathsf T\)Odpověď
Zobrazení je bijekce, čili prosté i na.