Isomorfní prostory
Úloha číslo: 4519
Varianta
\(\mathbb R^{2\times 2}\) a \(\mathbb R^4\)Řešení
Prostor \(\mathbb R^{2\times 2}\) má dimenzi 4 stejně jako prostor \(\mathbb R^4\). Oba jsou nad stejným tělesem \(\mathbb R\), a proto jsou si navzájem izomorfní.
Izomorfismus je dán např. bijektivním zobrazením báze na bázi, např. \(f\left(\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)=(1{,}0,0{,}0)^\mathsf T\), \(f\left(\begin{smallmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)=(0{,}1,0{,}0)^\mathsf T\), \(f\left(\begin{smallmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)=(0{,}0,1{,}0)^\mathsf T\), \(f\left(\begin{smallmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)=(0{,}0,0{,}1)^\mathsf T\).
Uvedený izomorfismus je pak dán předpisem: \(f\left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)=(a,b,c,d)^\mathsf T\).
Varianta
\(\mathbb R^4\) a prostor reálných polynomů stupně nejvýš třiOdpověď
Jsou si izomorfní, např. \((a,b,c,d)^\mathsf T\to ax^3+bx^2 +cx+d\).Varianta
\(\mathbb R^{m\times n}\) a \(\mathbb R^{n\times m}\)Odpověď
Jsou si izomorfní, např. \(\boldsymbol A \to \boldsymbol A^\mathsf T\).Varianta
\(\mathbb R^n\) nad \(\mathbb R\) a \(\mathbb C^n\) nad \(\mathbb C\)Odpověď
Přestože mají stejnou dimenzi, nejsou si izomorfní, protože jde o prostory nad různými tělesy.Varianta
\(\mathbb R^2\) a \(\{\boldsymbol x = (x_1, x_2, x_3, x_4)^\mathsf T \in \mathbb R^4\colon x_1 + x_2 = x_3 + x_4 = 0\}\)Odpověď
Jsou si izomorfní, např. \((a,b)^\mathsf T\to (a,-a,b,-b)^\mathsf T\).Varianta
\(\mathbb R^4\) a prostor lineárních zobrazení \(f : \mathbb R^4 \to \mathbb R\)Odpověď
Každé zobrazení \(f\) je jednoznačně určeno svou maticí např. vůči standardním bázím \([f]_{E,E}\).
Prostory si jsou izomorfní, např. \((a,b,c,d)^\mathsf T\to (a\ b\ c\ d)\).
Varianta
\(\mathbb R^4\) a prostor lineárních zobrazení \(f : \mathbb R \to \mathbb R^4\)Odpověď
Jsou si izomorfní, např. \((a,b,c,d)^\mathsf T\to \left(\begin{smallmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{smallmatrix}\right)\).Varianta
\(\mathbb R^4\) a prostor lineárních zobrazení \(f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2\)Odpověď
Jsou si izomorfní, např. \((a,b,c,d)^\mathsf T\to \left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d \end{smallmatrix}\right)\).