Velikonoční míchání barev
Úloha číslo: 4502
Ve firmě ACME s.r.o. vyvinuli potravinové barvy, které změní barvu po vystavení teplu. Plánují před velikonoci vydat nový produkt: „Kouzelná vajíčka“. Jedná se o balení tří vajíček, která zpočátku vypadají jako běžná, bílá vajíčka, ale při vaření změní barvu a stanou se z nich barevná, velikonoční vajíčka, každé jiné barvy.
Vedoucí pracovníci se dlouho nemohli dohodnout, v jakých barvách chtějí vajíčka prodávat. Původně plánovali vyrobit tyto tři barvy:
- fialová (25.0 % azurové a 75.0 % purpurové)
- červená (50.0 % purpurové a 50.0 % žluté)
- modrá (87.5 % azurové a 12.5 % žluté)
Na poslední chvíli se ale rozhodli pro tyto tři barvy:
- tyrkysová (77.5 % azurové, 10.0 % purpurové a 12.5 % žluté)
- zelená (40.0 % azurové, 10.0 % purpurové a 50.0 % žluté)
- růžová (15.0 % azurové a 85.0 % purpurové)
Ve zmatku způsobeném změnami na poslední chvíli pracovníci logistického centra ACME s.r.o. udělali zásadní chybu: Do některých závodů poslali (očíslované) barely s původními třemi barvami, zatímco do jiných poslali barely s novými třemi barvami. Velikonoce se blíží, a už nemají čas závodům poslat nové barvy. Nemohou však dopustit, aby balení z různých závodů obsahovala vajíčka různých barev, protože pokud se barvy uvařených vajíček nebudou přesně shodovat s promočními materiály, vystavovali by se riziku žaloby za klamavou reklamu.
V závodech nemohou poznat, jakou trojici barev dostali, ale mohou své barvy míchat v libovolných poměrech. Určete, v jakých třech poměrech mají v každém závodě své barvy smíchat, aby v každém závodě vyprodukovali vajíčka ve třech různých barvách, ale aby tyto tři barvy byly napříč všemi závody stejné.
Autor: Benjamin Swart, 2024Řešení
Máme zadané dvě báze prostoru barev CMY.
Chtěli bychom najít vektory, které mají v obou bázích stejnou reprezentaci. Sestavíme tedy matici přechodu a určíme její vlastní čísla. Tato matice má 1 jako jedno ze svých vlastních čísel, takže najdeme příslušný vlastní vektor. Získáme tím první poměr: Smícháme 40% prvního barelu, 20 % druhého barelu a 40 % třetího barelu, čímž získáme 45 % azurové, 40 % purpurové a 15 % žluté.
Vlastní číslo 1 má však násobnost jen 1, a tedy je toto jediný vektor se součtem složek 1, který má v obou bázích stejnou reprezentaci. Matice přechodů má ale i vlastní číslo \(-1\). To znamená, že existuje dvojice vektorů, které matice přechodu prohodí. To znamená, že reprezentace jednoho z nich v první bázi odpovídá reprezentaci druhého v druhé bázi. Zadání nezmiňuje, že všechny závody musí smíchat stejné barvy ve stejném pořadí, takže takováto dvojice dohromady s již nalezeným poměrem zadání splňuje.
Takovou dvojici najdeme snadno: Určíme množinu vlastních vektorů k vlastnímu číslu 1 druhé mocniny matice přechodu. Z nich vybereme libovolný různý od již nalezeného poměru, a druhý k němu dopočteme snadno vynásobením maticí přechodu.
Jedno z možných řešení je vybrat tyto dva poměry:
- 20 % druhého barelu a 80 % třetího barelu
- 80 % prvního barelu a 20 % druhého barelu
Poté nezávisle na závodu získáme následující dvě barvy:
- 20 % azurové, 70 % purpurové a 10 % žluté
- 70 % azurové, 10 % purpurové a 20 % žluté
