Spektrální rozklad

Úloha číslo: 4471

Ukažte, že každou hermitovskou matici \(\boldsymbol A\) řádu \(n\) lze zapsat výrazem \(\boldsymbol A=\lambda_1\boldsymbol v_1\boldsymbol v_1^{\mathsf H}+\lambda_2\boldsymbol v_2\boldsymbol v_2^{\mathsf H}+\cdots+\lambda_n\boldsymbol v_n\boldsymbol v_n^{\mathsf H}\), kde \(\boldsymbol v_1,\dots,\boldsymbol v_n\) jsou vhodně zvolené vlastní vektory příslušné (ne nutně různým) vlastním číslům \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\).

Řešení
Každou hermitovskou lze zapsat jako \(\boldsymbol A=\boldsymbol {RDR}^{\mathsf H}\), kde \(\boldsymbol D\) je diagonální s vlastními čísly na diagonále a \(\boldsymbol R\) je unitární, čili \(\boldsymbol R^{\mathsf H}=\boldsymbol R^{-1}\).

Sloupce \(\boldsymbol R\) tvoří vlastní vektory matice \(\boldsymbol A\), ty zvolíme za \(\boldsymbol v_1,\dots,\boldsymbol v_n\). Sloupce součinu \(\boldsymbol {RD}\) jsou pak \(\lambda_1\boldsymbol v_1,\dots,\lambda_n\boldsymbol v_n\).

Vektory \(\boldsymbol v_1^{\mathsf H},\dots,\boldsymbol v_n^{\mathsf H}\) jsou řádky \(\boldsymbol R^{\mathsf H}\), čili už stačí interpretovat vnější součin ve výrazu \((\boldsymbol {RD})\boldsymbol R^{\mathsf H}\) jako součet \(n\) matic \(\sum\limits_{i=1}^n (\lambda_i\boldsymbol v_i)\boldsymbol v_i^{\mathsf H}\), což platí obecně pro každý součin dvou matic (vizte úlohu Součiny sloupců).

Spektrální rozklad

Úloha číslo: 4471

Řešení