Signatura formy dané maticí

Určete signaturu reálné kvadratické formy dané maticí

Varianta
\( \begin{pmatrix} 10 &1 \\ 1 &2 \end{pmatrix} \)
Řešení
Provádíme Gaussovu eliminaci tak, že každou úpravu provedeme i na odpovídající sloupec.

Odečtením \(\frac1{10}\)-násobku prvního řádku od druhého a následně i pro sloupce dostáváme:
\( \begin{pmatrix} 10 &1 \\ 1 &2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 10 &1 \\ 0 &\frac{19}{20} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 10 &0 \\ 0 &\frac{19}{20} \end{pmatrix} \)
Signatura je trojice udávající postupně počet kladných, záporných a nulových prvků na výsledné diagonální matici.
Alternativní řešení
Signatura je také dána znaménky vlastních čísel matice formy. V našem případě je charakteristický mnohočlen \(p_A(t)= \begin{vmatrix} 10-t &1 \\ 1 &2-t \end{vmatrix} = t^2-12t+19 \) a ten má oba kořeny kladné.
Odpověď
Signatura formy je \((\#1, \#-1, \#0)=(2, 0, 0)\).
Varianta
\(\begin{pmatrix} 1 &1 &-2 \\ 1 &0 &0 \\ -2 &0 &3 \\ \end{pmatrix}\)
Odpověď
Signatura formy je \((\#1, \#-1, \#0)=(2, 1, 0)\).
Varianta
\( \begin{pmatrix} 1 &1 &-2\\ 1 &5 &0\\ -2 &0 &-4 \end{pmatrix} \)
Odpověď
Signatura formy je \((\#1, \#-1, \#0)=(2, 1, 0)\).
Varianta
\( \begin{pmatrix} 1 &-1& 1\\ -1 &-3 &-3\\ 1 &-3 &0 \end{pmatrix} \)
Odpověď
Signatura formy je \((\#1, \#-1, \#0)=(1, 1, 1)\).