Posloupnost průměrů

Varianta
V posloupnosti \((a_0,a_1,a_2,\ldots)\) je vždy každý další člen aritmetickým průměrem dvou předchozích členů (t.j. \(a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2}\) pro \(n\geq 0\)).

V závislosti na prvních dvou členech \(a_0,a_1\) spočtěte \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n\).
Řešení
Charakteristický mnohočlen je \(\lambda^2-\frac12 \lambda-\frac12=0\) s kořeny \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=-\frac12\).

Analytické vyjádření je \(a_n=\alpha\left(-\frac12\right)^n+\beta\).

Z rovnic pro \(a_0\) a \(a_1\) dostaneme \(\beta=\frac{a_0+2a_1}{3}\) a \(\alpha=\frac{2a_0-2a_1}{3}\).
Odpověď
Limita posloupnosti je \(\frac{a_0+2a_1}{3}\).
Varianta
V posloupnosti \((a_0,a_1,a_2,\ldots)\) je vždy každý další člen aritmetickým průměrem všech předchozích členů (t.j. \(a_n=\frac{a_0+\ldots+a_{n-1}}{n}\) pro \(n\geq 2\)).

V závislosti na prvních dvou členech \(a_0,a_1\) spočtěte \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n\)
Odpověď
Limita posloupnosti je \(\frac{a_0+a_1}{2}\), protože posloupnost je od členu \(a_2\) konstantní.