Celočíselnost

Úloha číslo: 3299

Je dáno reálné číslo \(x\) takové, že \(x+\frac{1}{x}\) je celé. Dokažte, že pro každé přirozené \(n\) je i číslo \(x^n+\frac{1}{x^n}\) celé.

  • Řešení

    Pro \(n=1\) platí předpoklad přímo.

    Pro \(n=2\) vyjdeme ze vztahu: \(\displaystyle\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\).

    Protože levá strana i číslo 2 jsou celá čísla, tak je i \(x^2+\frac{1}{x^2}\) celé.

    Pro \(n+1\) vyjdeme ze vztahu

    \(\displaystyle \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)= x^{n+1}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}+\frac{1}{x^{n+1}}= x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}.\)

    Z čehož úpravami dostaneme

    \(\displaystyle x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}= \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)-\left(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\right)\).

    Výraz na pravé straně je podle indukčních předpokladů pro \(n\) a \(n-1\) rozdílem součinu celých čísel a celého čísla, tedy celé číslo.

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
En translation
	Zaslat komentář k úloze