Celočíselnost
Úloha číslo: 3299
Je dáno reálné číslo \(x\) takové, že \(x+\frac{1}{x}\) je celé. Dokažte, že pro každé přirozené \(n\) je i číslo \(x^n+\frac{1}{x^n}\) celé.
Řešení
Pro \(n=1\) platí předpoklad přímo.
Pro \(n=2\) vyjdeme ze vztahu: \(\displaystyle\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}\).
Protože levá strana i číslo 2 jsou celá čísla, tak je i \(x^2+\frac{1}{x^2}\) celé.
Pro \(n+1\) vyjdeme ze vztahu
\(\displaystyle \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)= x^{n+1}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}+\frac{1}{x^{n+1}}= x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}+x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}.\)
Z čehož úpravami dostaneme
\(\displaystyle x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}= \left(x^n+\frac{1}{x^n}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)-\left(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\right)\).
Výraz na pravé straně je podle indukčních předpokladů pro \(n\) a \(n-1\) rozdílem součinu celých čísel a celého čísla, tedy celé číslo.
