Definiční obor, spojitost a omezenost funkcí

Ve kterých bodech jsou následující funkce definovány? Ve kterých jsou spojité? Jsou omezené?

Varianta 1
\(\frac{2xy}{x^2 + y^2}\)
Řešení
Funkce je definovaná, pokud je jmenovatel zlomku nenulový, tedy pokud \((x,y) \neq (0, 0)\). Podobně je spojitá ve všech bodech různých od \((0, 0)\), neboť se jedná o podíl dvou spojitých funkcí s tím, že funkce ve jmenovateli je nenulová.

Ukážeme, že funkce je také omezená. Nejprve si uvědomíme, že pro libovolná reálná čísla \(a, b\) platí \(2ab \leq a^2 + b^2\), neboť tato nerovnost je ekvivalentní s \(0 \leq (a-b)^2\). Tedy \[ \left|\frac{2xy}{x^2 + y^2}\right| = \frac{2|x||y|}{x^2 + y^2} \leq \frac{|x|^2 + |y|^2}{x^2 + y^2} = 1, \] odkud víme, že funkce je omezená.
Varianta 2
\(\cos \frac{1}{xy}\)
Varianta 3
\(\frac{1}{1-x^2 - y^2}\)
Varianta 4
\( \ln \sqrt{x^2 + y^2} \)
Varianta 5
\( \frac{1}{(x-y)^2} \)
Varianta 6
\( \frac{ \sin xy}{|x| + |y|} \)
Nápověda
Pro omezenost využijte nerovnost \(\sin t \leq |t|\) a rozlište možnost \(|x|, |y| \leq 1\) a možnost \(|x| > 1\) nebo \(|y| > 1\).