Uzavřená množina pomocí formule
Úloha číslo: 3158
Množina \(M \subseteq \mathbb R^3\) je definována jako \[ M = \{(x, y, z) \in \mathbb R^3\colon \space x^2 + y^2 + z^2 = 17, \space xyz - xz + x + y = 3 \}. \] Dokažte, že \(M\) je uzavřená podmnožina \(\mathbb R^3\).
Řešení
Definujme funkce \(F, G \colon \space \mathbb R^3 \to \mathbb R\) jako \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\), \(G(x, y, z) = xyz - xz + x + y\). Potom \(M = F^{-1}(\{17\}) \cap G^{-1}(\{3\})\). Funkce \(F\) a \(G\) jsou spojité, množiny \(\{17\}\) a \(\{3\}\) jsou uzavřené. Tedy podle jedné z ekvivalentních definic spojitosti (vzor uzavřené množiny je uzavřená množina) dostáváme, že \(M\) je průnik dvou uzavřenýcm množin, tedy uzavřená.
