Poznávání otevřených a uzavřených množin
Úloha číslo: 3153
Otevřenou kouli se středem \(x\) a poloměrem \(r\) v \(\mathbb R^2\) s eukleidovskou metrikou pro účely tohoto příkladu značíme \(B(x, r)\).
Uvažme metrický prostor \((X, \rho)\), kde \(X = \{(0, 0)\} \cup B((0, 2), 1)\) je podmnožina \(\mathbb R^2\) a \(\rho\) je eukleidovská metrika zúžená na množinu \(X\).
U následujících podmnožin \(X\) určete, zda jsou otevřené a také určete, zda jsou uzavřené.
Varianta 1
\(\{(x_1, x_2) \in X\colon x_1 = 0 \}\).
Varianta 2
\(\{(0, 0)\}\).
Varianta 3
\(B((0, 2), \frac12)\).
