\[
\int_{1/e}^e |\ln x| \, dx
=
\int_{1/e}^1 - \ln x \, dx
+
\int_{1}^e \ln x \, dx
=
-\int_{1/e}^1 \ln x \, dx
+
\int_{1}^e \ln x \, dx.
\]
Nyní spočteme primitivní funkci k \(\ln x\) jako neurčitý integrál. (Mohli bychom počítat rovnou určitý integrál, ale usnadníme si zápis tím, že se nám bude primitivní funkce hodit pro oba integrály.)
\[
\int \ln x \, dx = \int 1 \cdot \ln x \, dx = x \cdot \ln x - \int \frac{x}x \, dx =
x\cdot (\ln x-1) + C.
\]
Druhá úprava výše je integrace per partes.
Máme tedy (konstanta se při výpočtu určitého integrálu odečte, proto ji ani nepíšeme do hranatých závorek):
\[
-\int_{1/e}^1 \ln x \, dx
+
\int_{1}^e \ln x \, dx
=
-[x(\ln x-1)]_{1/e}^1 + [x (\ln x-1)]_1^e
=
\]
\[
=
-( -1 - 2/e) + (0 - (-1)) = 2 - 2/e.
\]
