Nejprve upravíme výraz typu odmocnina minus odmocnina
\(\displaystyle n^{\alpha}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=n^{\alpha}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \)
Pro velké hodnoty \(n\) se jmenovatel posledního zlomku chová zhruba jako \(\sqrt{n}\), a proto zkusíme použít srovnávací kritérium pro
\(\displaystyle a_n=n^{\alpha}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\text{ a }b_n=\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{n}}=n^{\alpha-\frac{1}{2}}. \)
Odtud \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}{\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{n}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{2}\in(0,\infty). \)
Podle limitního srovnávacího kritéria tedy zadaná řada konverguje, právě když konverguje řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^{\alpha-\frac{1}{2}}\). Podle základní srovnávací škály tedy zadaná řada konverguje, je-li \(\alpha-\frac{1}{2}<1\), což je ekvivalentní s \(\alpha<\frac{1}{2}\).
