Sbírka matematických úloh

Průběh funkce (s konvexitou)

Úloha číslo: 3036

• Varianta 1

  \(\displaystyle f(x)=x^3 - 12x + 16\)

• Řešení

  Označme \(f(x) = x^3 - 12x + 16\).

  Definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami: Definičním oborem \(f\) jsou všechna reálná čísla, obor hodnot určíme později. Funkci lze rozložit na \(f(x) = (x-2)^2(x+4)\), protíná tedy osu \(x\) v bodech \((-4{,}0)\) a \((2{,}0)\), osu \(y\) protíná v bodě \((0, 16)\).

  Monotonie: Máme \(f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x-2)(x+2)\). Stacionární body máme tedy pro \(x = \pm 2\). Z rozkladu snadno dopočítáme, že \(f'(x) > 0\) na intervalech \((-\infty, -2)\) a \((2, \infty)\), funkce je tedy na těchto intervalech rostoucí. Naopak \(f'(x) < 0\) na intervalu \((-2, 2)\), kde je funkce klesající. Odtud rovněž máme, že pro \(x = -2\) dostáváme lokální maximum, \(f(-2) = 32\), a pro \(x = 2\) dostáváme lokální minimum, \(f(2) = 0\).

  Konvexita: Dále spočítáme \(f''(x) = 6x\). Máme tedy \(f''(x) > 0\) pro \(x \in (0, \infty)\) a \(f''(x) < 0\) pro \(x \in (-\infty, 0)\). Funkce je tedy konkávní na intervalu \((-\infty, 0)\) a konvexní na \((0, \infty)\). Pro \(x = 0\) máme inflexní bod.

  Limity v krajních bodech: Máme \(\lim_{x \to \infty} f(x)= \infty\) a \(\lim_{x \to -\infty} f(x)= -\infty\) (jak jistě snadno spočtete). To nám pomůže nakreslit graf v okolí "nekonečen". Díky tomu také víme, protože \(f\) je spojitá, že obor hodnot \(f\) je \(\mathbb R\).

  Asymptoty: Máme \(\lim_{x \to \infty} f(x)/x = \lim_{x \to -\infty} f(x)/x =\infty\), jak jistě snadno dopočtete. Odtud plyne, že funkce nemá asymptoty ani v \(\infty\) ani v \(-\infty\).

  

• Výsledek

  Zde máte graf, ale i ostatní kroky uvedené v řešení (a neuvedené zde) jsou důležité.

  

• Varianta 2

  \(\displaystyle f(x)=\arcsin(\cos x)\)

• Varianta 3

  \(\displaystyle f(x)=\ln^3(x)\)

• Varianta 4

  \(\displaystyle f(x)=e^{-x^2}\)

• Varianta 5

  \(\displaystyle f(x)=\ln(4{\cdot}3^x + 2)\)

• Varianta 6

  \(\displaystyle f(x)=\ln\left(\left|\tan\frac{x}4\right|\right)\)

• Varianta 7

  \(\displaystyle f(x)=\arcsin\left(\frac{2x}{x^2 + 1}\right)\)

• Varianta 8

  \(\displaystyle f(x)=x^2 e^{-x} \)

• Varianta 9

  \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{(x-2)^2} \)

• Varianta 10

  \(\displaystyle f(x)=x-\ln(x+1) \)

• Varianta 11

  \(\displaystyle f(x)=x\, e^{-|x-1|} \)