Označme \(f(x) = \sin(\sin x)\).
Definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osami: Definičním oborem jsou všechna reálná čísla. K určení oboru hodnot si nejprve uvědomíme, že obor hodnot vnitřního \(\sin x\) je interval \([-1{,}1]\). Tedy oborem hodnot \(f\) je obraz intervalu \([-1, 1]\) pomocí (vnějšího) sinu, což je interval \([\sin -1, \sin 1]\) vzhledem k tomu, že sinus je na \([-1{,}1]\) rostoucí a spojitá. Průsečíkem grafu funkce s osou \(y\) je bod \((0, \sin(\sin(0)) = (0{,}0)\). Pro průsečíky s osou \(x\) musíme vyřešit rovnici \(\sin(\sin x) = 0\). Vnější sinus je roven \(0\), pokud je vnitřní sinus roven \(k \pi\) pro \(k \in \mathbb Z\). Vzhledem k tomu, že vnitřní sinus nabývá hodnot na intervalu \([-1, 1]\) jediná možnost je, že \(\sin (x) = 0\), což nastává pro \(x = k \pi\).
Další důležité vlastnosti: Než začneme derivovat, ještě si uvědomíme, že \(f\) je \(2\pi\)-periodická funkce, tudíž nám ji stačí vyšetřovat například na intervalu \([0, 2\pi]\) a zbytek určíme z periodicity. Dále se ještě jedná o lichou funkci, tudíž je souměrná podle počátku.
Monotonie:
Spočteme \(f'(x) = \cos(\sin x)\cdot \cos x\). Vzhledem k tomu, že \(\sin x \in [-1{,}1]\) máme, že \(\cos(\sin x)\) je vždy kladný. Znaménko \(\cos(\sin x)\cdot \cos x\) je tedy určeno znaménkem \(\cos x\). Na intervalu \([0, 2\pi]\) je \(\cos x\) kladný na \([0, \pi/2) \cup ((3/2)\pi, 2\pi]\), záporný na \((\pi/2, (3/2)\pi)\) a nulový v bodech \(\pi/2\) a \((3/2)\pi\). Máme tedy, že \(f\) je na \([0, \pi/2)\) a \(((3/2)\pi, 2\pi]\) rostoucí a na \((\pi/2, (3/2)\pi)\) klesající. Navíc odtud dostáváme, protože \(f\) je spojitá, že v bodě \(x = \pi/2\) máme lokální maximum a v bodě \(x = (3/2)\pi\) lokální minimum.
Limity v krajních bodech: Snadno si rozmyslíme, že \(\lim_{x\to \infty} f(x)\) ani \(\lim_{x \to -\infty}\) neexistují. To víceméně plyne z toho, že je funkce periodická. Přesněji, když zvolíme \(x_k = 2k\pi\) a \(y_k = \pi/2 + 2k\pi\), dostaneme \(f(x_k) = 0\) a \(f(y_k) = \sin(1)\). Máme tedy dvě posloupnosti (\(x_k, y_k \to \infty\)), na které když aplikujeme \(f\), dostaneme různé limity. Podle Heineho podmínky tedy \(\lim_{x\to \infty} f(x)\) existovat nemůže. Situace s druhou limitou je analogická.
Asymptoty: Asymptoty též neexistují, což samo o sobě plyne z toho, že limity \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x)\) neexistují. Kdyby například existovala asymptota v \(+\infty\), potom by \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) musela být buď \(\pm \infty\) (pokud by asymptota měla nenulový sklon) nebo konečná (pokud by asymptota měla nulový sklon).
Nyní už můžeme načrtnout graf, ačkoliv neznáme přesně inflexní body:
