Aplikace derivací: nerovnosti
Úloha číslo: 3008
Dokažte následující nerovnosti:
Varianta 1
\(e^x \geq x + 1\) pro všechna \(x \in \mathbb R\).
Varianta 2
\(\ln(x) \leq x-1\) pro \(x \in (0, \infty)\).
Varianta 3
\(x + 1 \geq e^{\frac{x}{1+x}}\) pro \(x \in (-1, \infty)\).
Varianta 4
\(\sin x \leq x\) pro \(x \geq 0\).
Varianta 5
\(\cos x \geq 1 - \frac{x^2}2\).