Sbírka matematických úloh

mírně složitější derivace

Úloha číslo: 3002

• Varianta 1

  \[ \frac{2^x - 1}{3x}. \]

• Řešení

  \[ \left( \frac{2^x - 1}{3x} \right)' = \left( \frac{e^{(\ln 2) x} - 1}{3x} \right)' = \frac{(\ln 2) e^{(\ln 2) x} \cdot 3x - 3\cdot(e^{(\ln 2)x} - 1)}{9x^2} = \] \[ = \frac{\ln 2 \cdot x \cdot 2^x - 2^x + 1}{3x^2}. \] Derivace existuje pro všechna \(x \neq 0\).

• Výsledek

  \[ \frac{\ln 2 \cdot x \cdot 2^x - 2^x + 1}{3x^2}. \] Derivace existuje pro všechna \(x \neq 0\).

• Varianta 2

  \[\hbox{arctg} (\ln x).\]

• Výsledek

  \[ \frac{1}{x(1 + \ln^2 x)}. \] Derivace existuje pro všechna \(x \in (0, \infty)\).

• Varianta 3

  \[\arcsin(\sin x)) \]

• Výsledek

  Derivace vychází \(1\) pro \[x \in \bigcup_{k \in \Bbb Z} (-\frac{\pi}2 + 2k\pi, \frac{\pi}2 + 2k\pi)\] a vychází \(-1\) pro \[ x \in \bigcup_{k \in \Bbb Z} (\frac{\pi}2 + 2k\pi, \frac{3\pi}2 + 2k\pi).\] V bodech \(\frac{\pi}2 + k\pi\), pro \(k \in \Bbb Z\) derivace neexistuje.

• Varianta 4

  Funkce \(f\) je zadaná předpisem:

  • \(f(x) = x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right)\) pro \(x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)\),
  • \(f(0) = 0\).

• Řešení

  Výpočtem se snadno přesvědčíme, že \[ f'(x) = 2x \sin\left(\frac1x\right) - \cos\left(\frac1x\right) \] pro \(x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)\).

  Zbývá dopočítat \(f'(0)\). Mějme funkce \(g(x) = x^2\) a \(h(x) = - x^2\). Snadno vidíme, že \(g(x) \geq f(x) \geq h(x)\). Navíc \(g'(0) = h'(0) = 0\). Odtud podle věty o limitě sevřené funkce (použijte definici derivace) dostáváme, že \(f'(0) = 0\).

  Všimněte si, že funkce \(f\) je spojitá, má derivaci ve všech bodech, ale tato derivace není spojitá.