Nejprve si zkusíme neformálně odhadnout výsledek a poté ho formálně dokážeme pomocí věty limitě sevřené funkce. Pro velké hodnoty \(x\) není \(1\) vůči \(2^x\) příliš podstatná, a proto je zadaná funkce blízko funkci \(\displaystyle \frac{\log(2^x)}{x}=\frac{x \log 2}{x}=\log 2. \)
Označme \( f(x)=\frac{\log(2^x)}{x}=\log 2, \\ h(x)=\frac{\log(1+2^x)}{x}\text{ a }\\ g(x)=\frac{\log(2^x+2^x)}{x}=\frac{\log(2^{x+1})}{x}=\log 2\frac{x+1}{x}. \)
Zřejmě pro \(x\geq 0\) platí \( f(x)\leq h(x)\leq g(x) \).
Toto a jednoduché limity \(\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\log 2=\lim_{x\to\infty}g(x) \) nám zaručí, že i limita naší funkce splňuje \(\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac{\log(1+2^x)}{x}=\lim_{x\to \infty}h(x)=\log 2. \)
