Limity s goniometrickými funkcemi

Spočítejte limity

Varianta 1
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} \).
Řešení
Tuto limitu lze snadno spočítat za pomoci známé limity \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 \) a úpravy

\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\frac{1+\cos x}{1+\cos x}= \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{x^2}\frac{1}{1+\cos x}=\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}\frac{1}{1+\cos x}= \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\cos x} =1{\cdot} 1\cdot\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} \),
Výsledek
Limita je \(\frac12\).
Varianta 2
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac1{x^2+\sin x} \).
Nápověda
Použijte odhad \(\sin x<x\).
Řešení
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac1{x^2+\sin x}= \lim_{x\to 0^+}\frac1{x^2-\sin x}\le \lim_{x\to 0^+}\frac1{x^2-x}\le-\infty \).

V poslední nerovnosti jsme použili vztah, že \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+}{x^2- x}=0 \) a \(x^2-x<0\) pro \(x\in(0{,}1)\).
Výsledek
Limita je \(-\infty\).