Sbírka matematických úloh

Limity s odmocninami

Úloha číslo: 2956

• Varianta 1

  \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x} \)

• Výsledek

  Limita je 1.

• Varianta 2

  \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9} \)

• Řešení

  Dosazením do těchto spojitých funkcí opět zjistíme, že se jedná o limitu \(\frac{0}{0}\). Proto si zadaný výraz standardně rozšíříme podle vzorečku \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) a dostaneme \[\begin{align*} \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}&=\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9} \frac{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}\\ &=\frac{(x+13)-4(x+1)}{x^2-9}\frac{1}{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}\\ &=\frac{-3(x-3)}{(x-3)(x+3)}\frac{1}{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}} .\\ \end{align*}\] Po zkrácení máme spojité funkce, do kterých můžeme dosadit a limita vyjde

  \(\displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9} =\lim_{x\to 3}\frac{-3}{x+3}\frac{1}{\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}} =\frac{-3}{6}\frac{1}{\sqrt{16}+2\sqrt{4}}=\frac{-1}{16}\ . \)

• Varianta 3

  \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\root{3}\of{1+x}-\root{3}\of{1-x}} \)

• Řešení

  Použijeme standardní rozšíření rozdílu dvou druhých a rozdílu dvou třetích odmocnin a dostaneme \[\begin{align*} \lim_{x\to 0}&\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\root{3}\of{1+x}-\root{3}\of{1-x}}=\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\root{3}\of{1+x}-\root{3}\of{1-x}} \cdot\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \cdot\frac{\root{3}\of{(1+x)^2}+\root{3}\of{(1+x)(1-x)} +\root{3}\of{(1-x)^2}}{\root{3}\of{(1+x)^2}+\root{3}\of{(1+x)(1-x)} +\root{3}\of{(1-x)^2}}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{1+x-(1-x)}{1+x-(1-x)}\cdot\frac{\root{3}\of{(1+x)^2}+\root{3}\of{(1+x)(1-x)} +\root{3}\of{(1-x)^2}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\\ &=\frac{\lim_{x\to 0} (\root{3}\of{(1+x)^2}+\root{3}\of{(1+x)(1-x)} +\root{3}\of{(1-x)^2})}{\lim_{x\to 0} (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{3}{2}. \end{align*}\]

• Výsledek

  Limita je \(\frac32\).

• Varianta 4

  \(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt x}} - \sqrt x \)

• Nápověda

  Využijte vztahu \(A - B = \frac{A^2 - B^2}{A+B}\).

• Výsledek

  Limita je \(\frac12\).