Limita součtu řady na okolí 1
Úloha číslo: 2955
Po pevné \(n\in\mathbb N\) spočítejte limitu \(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x+x^2+…+x^n-n}{x-1} \)
Řešení
Můžeme použít \(n\)-krát větu o limitě součtu a dostaneme
\( \lim_{x\to 1}\frac{x+x^2+…+x^n-n}{x-1} =\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)+(x^2-1)+…+(x^n-1)}{x-1}\\ = \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x-1}+ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}+…+\lim_{x\to 1}\frac{x^n-1}{x-1} \).
Pro \(j\in\{1{,}2,…,n\}\) můžeme použít vzoreček pro \(a^j-b^j\) a dostaneme
\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^j-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x^{j-1}+x^{j-2}+…+1)=j \).
Proto je naše limita rovná
\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x+x^2+…+x^n-n}{x-1}=1+2+3+…+n=\frac{1}{2}n(n+1) \),
kde jsme použili známý vzorec na součet prvních \(n\) přirozených čísel.
Výsledek
Limita je rovna \(\frac{n(n+1)}2\).
