Operace zachovávající monotonii
Úloha číslo: 2951
Které z následujících operací provedených na neklesající funkce \(f\) a \(g\) dávají opět neklesající funkci: \(f+g\), \(f-g\), \(f\cdot g\), \(\max\{f,g\}\), \(\min\{f,g\}\), \(f\circ g\)?
Řešení
Předpoklad, že \(f\) a \(g\) jsou neklesající znamená, že \(x<y \longrightarrow f(x)\le f(y)\land g(x)\le g(y)\).
Součet: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\le f(y)+g(y)=(f+g)(y)\).
Rozdíl nemusí být neklesající, protože vezmeme-li \(g=2f\), je \(f-g=-f\), tedy dostaneme nerostoucí funkci.
Součin nemusí být neklesající, protože vezmeme-li \(f(x)=g(x)=x\), je \(f(x)g(x)=x^2\), tedy dostaneme nerostoucí funkci.
Maximum: Je-li bez újmy na obecnosti \(f(x)\le g(x)\), dostaneme: \(\max\{f(x),g(x)\}=g(x)\le g(y)\le \max\{f(y),g(y)\}\).
Minimum: Je-li bez újmy na obecnosti \(f(y)\le g(y)\), dostaneme: \(\min\{f(x),g(x)\}\le f(x)\le f(y)= \min\{f(y),g(y)\}\).
Složení: \(x<y \longrightarrow g(x)\le g(y) \longrightarrow (f\circ g)(x)=f(g(x))\le f(g(y))=(f\circ g)(y)\).
Výsledek
Funkce \(f+g\), \(\max\{f,g\}\), \(\min\{f,g\}\), \(f\circ g\) jsou neklesající, pouze \(f-g\) a \(f\cdot g\) nemusejí být neklesající.
