Sbírka matematických úloh

Řady s parametry - absolutní konvergence

Úloha číslo: 2916

• Varianta 1

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n} \)

• Nápověda

  Většinu případů ošetřete podílovým kritériem.

• Řešení

  Nejprve vyšetříme absolutní konvergenci pomocí podílového kritéria.

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}= \lim_{n\to\infty}\frac{\left|\frac{a^{n+1}}{n+1}\right|}{\left|\frac{a^n}{n}\right|}= |a|\lim_{n\to\infty}\frac{|n|}{|n+1|}=|a| \).

  Řada konverguje absolutně pro \(|a|<1\) a diverguje pro \(|a|>1\).

  Zbývá vyšetřit případ \(|a|=1\). Pro \(a=1\) dostáváme divergentní harmonickou řadu, pro \(a=-1\) řadu \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \), která konverguje neabsolutně podle Leibnizova kriteria.

• Výsledek

  Konverguje absolutně pro \(a\in (-1{,}1)\), neabsolutně pro \(a=-1\), jinde diverguje.

• Varianta 2

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n\cdot3^n} \)

• Výsledek

  Konverguje absolutně pro \(a\in (-3{,}3)\), neabsolutně pro \(a=-3\), jinde diverguje.

• Varianta 3

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^4+1}(a+1)^n \)

• Výsledek

  Konverguje absolutně pro \(a\in \langle-2{,}0\rangle\), jinde diverguje.

• Varianta 4

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(a+2)^n}{\sqrt{n+1}} \)

• Výsledek

  Konverguje absolutně pro \(a\in (-3{,}2)\), neabsolutně pro \(a=-3\), jinde diverguje.

• Varianta 5

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a^n\cdot n!}{n^n} \)

• Nápověda

  Neabsolutní konvergenci ošetřete pomocí Stirlingovy formule:

  \(\displaystyle c_1{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}<{n!}<c_2{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}\), pro určité konstanty \(c_1\) a \(c_2\).

• Výsledek

  Konverguje absolutně pro \(a\in (-e,e)\), jinde diverguje.

• Varianta 6

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{\ln a} \)

• Výsledek

  Konverguje absolutně pro \(a\in (0,\frac1e)\), diverguje pro \(a\ge \frac1e\). (Pro nekladná \(a\) není \(\ln a\) definováno.)