Řada nekonverguje absolutně, jelikož harmonická řada diverguje.
Ukážeme, že řada konverguje. Výraz \(\frac{n(n+1)}2\) je lichý, pokud \(n\) dává zbytek \(1\) nebo \(2\) po dělení čtyřmi, a sudý v ostatních případech. Řada tedy začíná dvěma zápornými výrazy, následují dva kladné, potom opět dva záporné atd. Myšlenkou řešení je sečíst dvojice po sobě jdoucích členů se stejnými znaménky tak, abychom mohli použít Leibnizovo kritérium.
Pro \(n\) liché, tj. \(n = 2k - 1\) se podívejme na \(n\). a \((n+1)\). člen. Ty jsou
\(\displaystyle
\frac{(-1)^{\frac{(2k-1)2k}2}}{2k-1} \hbox{ a } \frac{(-1)^{\frac{2k(2k+1)}2}}{2k}.\)
Jak už jsme si uvědomili dříve, tyto dva členy mají stejné znaménko. Konkrétně \((-1)^k\), jelikož \((-1)^{2k-1} = (-1)^{2k+1} = -1\).
Sečteme-li tyto dva členy dostáváme
\(\displaystyle
(-1)^k\left(\frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2k}\right)= (-1)^k\frac{4k - 1}{2k(2k-1)}.
\)
Řada
\(\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{4k - 1}{2k(2k-1)}.
\)
konverguje podle Leibnizova kritéria (ověřte si, že příslušná posloupnost absolutních hodnot členů je nerostoucí a má nulovou limitu).
Odtud nám zbývá krok k odvození, že řada ze zadání konverguje.
Označme \(s_t\) částečný součet
\(\displaystyle
s_t = \sum\limits_{n=1}^{t} \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}2}}{n}.
\)
Konvergence řady znamená ověřit, že posloupnost částečných součtů \(\{s_t\}\) konverguje. Víme, že řada
\(\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{4k - 1}{2k(2k-1)}.
\)
konverguje. Z její definice ale plyne, že zatím jenom víme, že posloupnost sudých členů částečných součtů \(\{s_{2m}\}\) konverguje. Poslední krok je uvědomit si, že
\(\displaystyle
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(-1)^{\frac{n(n+1)}2}}{n} = 0,
\)
tedy pro dostatečně velké \(n\) jsou liché členy blízko sudých, a tedy i celá řada ze zadání konverguje (uvědomte si pořádně z definice limity).
