Těžší tvrzení o řadách
Úloha číslo: 2914
Dokažte, že pokud řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) s kladnými členy diverguje a \(\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k \) je posloupnost částečných součtů, potom řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{s_n} \) diverguje a řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{s_n^2} \) konverguje.
Nápověda
Pro divergenci použijte Bolzano-Cauchyho podmínku.
Pro konvergenci si zapište \(a_n=s_n-s_{n-1}\).
Řešení
Označme \(\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n \frac{a_n}{s_n}\).
Platí \(b_m-b_n= \frac{a_{n+1}}{s_{n+1}}+\frac{a_{n+2}}{s_{n+2}}+…+\frac{a_{m}}{s_{m}}\ge \frac{a_{n+1}}{s_{m}}+\frac{a_{n+2}}{s_{m}}+…+\frac{a_{m}}{s_{m}}= \frac{s_m-s_n}{s_m}=1-\frac{s_n}{s_m} \)
Protože ale \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n=\infty\), lze pro každé \(n\) zvolit dostatečně velké \(m\), aby \(s_m\ge 2s_n\).
Potom však \(b_m-b_n\ge\frac12\), tedy řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{s_n} \) diverguje.
Vynecháme-li první člen řady, dostaneme odhad:
\(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{s_n^2} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{s_n-s_{n-1}}{s_n^2} \le \sum_{n=2}^{\infty}\frac{s_n-s_{n-1}}{s_ns_{n-1}} = \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac1{s_{n-1}}-\frac1{s_{n}}\right)=\frac1{a_1}\)
Řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{s_n^2} \) tedy konverguje podle srovnávacího kritéria.
