Snadné tvrzení o řadách
Úloha číslo: 2913
Dokažte, že pokud řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) konverguje absolutně, potom konverguje i řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \).
Platí tvrzení i pro řady, které konvergují jen neabsolutně?
Řešení
Protože řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n \) konverguje, existuje \(n_0\) takové, že pro \(n>n_0\) platí \(a_n\le 1\).
Danou řadu omezíme konvergentní řadou \(\displaystyle \sum_{n=n_0}^{\infty}a_n^2\le \sum_{n=n_0}^{\infty}|a_n| \).
(Prvních \(n_0-1\) členů konvergenci řady neovlivní.)
Absolutní konvergence je podstatná, např. řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nn^{-\frac12} \) konverguje neabsolutně, ovšem řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^nn^{-\frac12}\right)^2= \sum_{n=1}^{\infty}n^{-1}\) diverguje.
