Sbírka matematických úloh

Různé řady

Úloha číslo: 2911

• Varianta 1

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(n+2)} \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}\ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3n^2}\ge \frac13\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 2

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt\frac{n-1}{2n}\).

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt\frac{n-1}{2n}=\frac{\sqrt{2}}2>0\).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 3

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{(n+1)\sqrt{n+1}-1} \)

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{(n+1)\sqrt{n+1}-1} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n\sqrt{n}-1} \ge \sum_{n=2}^{\infty}\frac1{\sqrt{n}} \)

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 4

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2 \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+n^2}{1+n^3}\right)^2 \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4+2n^2+1}{n^6} \le 4 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 5

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(n+3)\sqrt{n}} \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(n+3)\sqrt{n}}\le \sum_{n=1}^{\infty} n^{-\frac32} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 6

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt n}{n^3+1} \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt n}{n^3+1}\le \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 7

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{\frac1{1000}} \).

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1{1000}}=1 \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 8

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{\sqrt{2^n}} \)

• Řešení

  Odmocninové kritérium:

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n-1}{\sqrt{2^n}}}= \frac{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n-1}}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}2<1 \).

  Všimněte si, že

  \(\displaystyle 1\le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2n-1}\le \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3n}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3}\cdot\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1{\cdot} 1=1 \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 9

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\cdot3^n} \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\cdot3^n} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} \).

  Popřípadě odmocninové kritérium \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1{n\cdot3^n}}=\frac1{3\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}=\frac13<1 \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 10

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^5}{2^n+3^n} \).

• Řešení

  Nejprve srovnávací, pak odmocninové kritérium

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^5}{2^n+3^n}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^5}{2^n} \)

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^5}{2^n}}= \frac{\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}\right)^5}{2}=\frac12 \)

  Protože druhá řada konverguje, konverguje i první.

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 11

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1!+2!+3!+…+n!}{(2n)!} \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1!+2!+3!+…+n!}{(2n)!} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cdot n!}{(2n)!} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 12

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n \).

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n}=e^{-1}>0 \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 13

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^n \).

• Řešení

  Kosinus nabývá hodnot v intervalu \(\langle-1{,}1\rangle\).

  Pro všechna \(t\in\langle-1{,}1\rangle\) platí \(\displaystyle \frac{1+t}{2+t}=1-\frac{1}{2+t}\leq 1-\frac{1}{2+1} = \frac{2}{3} \).

  Dále podle srovnávacího kritéria:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+\cos n}{2+\cos n}\right)^n\leq \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^n \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 14

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{n+\ln n} \)

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2+\cos n}{n+\ln n} \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n} \)

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 15

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n(n+2)} \)

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n(n+2)} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \)

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 16

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac1n \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac1n \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2n} \ge \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n} \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 17

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac1{n^2} \).

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac1{n^2} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 18

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}e^{\sqrt[-3]n} \).

• Řešení

  Využijeme fakt, že \(\displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{k^6}{e^k}=0 \), tedy existuje \(k_0\in\mathbb N\) tak, že pro všechna přirozená \(k\geq k_0\) platí \(\displaystyle \frac{k^6}{e^k}\leq 1. \)

  Pro \(n\geq n_0:=k_0^3\) pomocí elementárního odhadu celé části \(x-1\leq \lfloor x\rfloor\leq x\) dostáváme pro \(k=\lfloor\root{3}\of{n}\rfloor\), že

  \(\displaystyle \frac{n^2}{e^{\root{3}\of{n}}}= \frac{(\root{3}\of{n})^6}{e^{\root{3}\of{n}}}\leq \frac{(\lfloor\root{3}\of{n}\rfloor+1)^6}{e^{\lfloor\root{3}\of{n}\rfloor}}\leq \frac{(2k)^6}{e^k}\leq 2^6. \)

  Pro \(n\geq n_0\) tedy máme odhad \(\displaystyle e^{-\root{3}\of{n}}=\frac{1}{e^{\root{3}\of{n}} }\leq \frac{2^6}{n^2} . \)

  Řada \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^6}{n^2}\) konverguje, a proto podle srovnávacího kritéria pro řady dostáváme i konvergenci původní řady.

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 19

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n} \)

• Řešení

  Srovnávací kritérium:

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \)

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 20

  \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\log^2 n}\ . \)

• Řešení

  Nejprve si čitatel upravíme na rozdíl dvou odmocnin \(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2}\), a proto si celý výraz rozšíříme

  \(\displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n^2+1}-n}{\log^2 n}=\frac{\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2}}{\log^2 n}\frac{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2}}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2}} =\frac{(n^2+1)-n^2}{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2})\log^2 n}. \)

  Nyní již snadno odhadneme, že tato řada se chová zhruba jako řada \(\displaystyle b_n=\frac{1}{n \log^2 n}. \)

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2})\log^2 n}}{\frac{1}{n \log^2 n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}=\frac{1}{2}\in(0,\infty). \)

  Řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n \log^2 n}\) konverguje, a tedy konverguje i zadaná řada podle limitního srovnávacího kritéria.

• Výsledek

  Řada konverguje.