Odmocninové kritérium

Úloha číslo: 2910

Vyšetřete konvergenci následujících řad

Varianta 1
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{3n+2}\right)^n \).
Řešení
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{3n+2}\right)^n}= \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n+2}=\frac13<1 \)
Výsledek
Řada konverguje.
Varianta 2
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)^n \).
Řešení
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)^n}= \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2+1}=0<1 \)
Výsledek
Řada konverguje.
Varianta 3
\(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^5}. \)
Řešení
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\frac{5^n}{n^5}}= \frac 5{\lim\limits_{n\to\infty}\root{n}\of{n^5}}=\frac5{1^5}=5 \)

Všimněte si, že už sama posloupnost \(\frac{5^n}{n^5}\) diverguje.
Výsledek
Řada diverguje.
Varianta 4
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}\ \).
Řešení
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\frac{n^2}{2^n}}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\root{n}\of{n}\cdot \lim\limits_{n\to\infty}\root{n}\of{n}}{2}=\frac{1{\cdot} 1}{2}=\frac{1}{2}<1. \)
Výsledek
Řada konverguje.
Varianta 5
\(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{\left(n + \sqrt n\right)^n}{(2n^2 + n)^{\frac{n}{2}}}. \)
Řešení
\(\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \root n \of{\frac{\left(n + \sqrt n\right)^n}{(2n^2 + n)^{\frac{n}{2}}}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n + \sqrt n}{\sqrt{2n^2 + n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n(1 + n^{-\frac12})}{n\sqrt{2 + \frac1n}} = \frac{1+0}{\sqrt{2+0}} < 1. \)
Výsledek
Řada konverguje.
Varianta 6
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n \).
Řešení
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\sqrt[n]{n}-1\right)^n}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}-1=0 \)
Výsledek
Řada konverguje.