Sbírka matematických úloh

Srovnávací kritérium

Úloha číslo: 2907

• Varianta 1

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1} \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n+1} \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}\ge \frac13 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \)

  Využijeme fakt, že harmonická řada diverguje.

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 2

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \)

  Daná řada konverguje podle srovnávacího kritéria, protože jsme ji shora odhadli řadou \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \), která konverguje.

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 3

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5} \).

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-4n+5} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\frac12 n^2} = 2 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 4

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n+4}{2n^2+5} \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n+4}{2n^2+5} \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+5}{2n^2+5}=\sum_{n=1}^{\infty} 1 \)

  Také lze využít fakt, že posloupnost \(\displaystyle \frac{2n^2+3n+4}{2n^2+5} \) konverguje k 1 a nikoli k 0.

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 5

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n+4}{(2n^2+5)^2} \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n+4}{(2n^2+5)^2} \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{9n^2}{4n^4} = \frac94 \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2} \)

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 6

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^3} \).

• Řešení

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 + 1}{n^3} \ge \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2}{n^3} \ge 2 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1n \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 7

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n^4 + n^2}. \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n^4 + n^2} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{n^3 - 1}{n^4 + n^2} \ge \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{\frac12n^3}{n^4 + n^4} = \frac14 \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac1n \)

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 8

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 7^n}{8^n - 2^n}. \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6^n + 7^n}{8^n - 2^n} \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{7^n + 7^n}{\frac12 {\cdot}8^n} = 4 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{7}{8}\right)^n \)

  V první úpravě jsme použili nerovnosti \(6^n \leq 7^n\) a \(2^n \leq \frac12 8^n\). Řada konverguje podle srovnávacího kritéria, protože jsme ji odhadli seshora (až na konstantu) konvergentní geometrickou řadou.

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 9

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+2}} \)

• Řešení

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+2}}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}\le= \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\frac32} \)

  Řada konverguje, protože řada \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} n^{\alpha} \) konverguje pro každé \(\alpha < -1\).

• Výsledek

  Řada konverguje.

• Varianta 10

  \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}} \)

• Řešení

  S vyjímkou prvních dvou členů řady můžeme použít odhad:

  \(\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n+1}\sqrt{2n+3}}\ge \sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{3n}\sqrt{3n}}= \frac13\sum_{n=3}^{\infty}\frac1n \)

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 11

  \(\displaystyle \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\root 5 \of{n^4 + n} \root 3 \of{n-2}}. \)

• Řešení

  Pro \(n\ge 4\) platí

  \(\displaystyle \frac{1}{\root 5 \of{n^4 + n} \root 3 \of{n-2}} \leq \frac{1}{\root 5 \of{n^4} \root 3 \of{n-\frac{n}2}} = \frac{1}{\root 3 \of{\frac12} n^{\frac45} n^{\frac13}} = \frac{1}{\root 3 \of{\frac12} n^{\frac{17}{15}}} \)

  Proto platí odhad \(\displaystyle \sum\limits_{n=4}^{\infty} \frac{1}{\root 5 \of{n^4 + n} \root 3 \of{n-2}} \le \sqrt[3]2\sum\limits_{n=4}^{\infty} n^{-\frac{17}{15}} \)

  (První dva členy konvergenci řady neovlivní, jejich součet je konečný).

• Výsledek

  Řada konverguje.