Sbírka matematických úloh

Užití definice

Úloha číslo: 2906

• Varianta 1

  Ukažte, že řada harmonická řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \) diverguje.

• Řešení

  Pro posloupnost částečných součtů \(s_n\) platí

  \(s_{2n}-s_nk= \frac1{n+1}+\frac1{n+2}+…+\frac1{2n}\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12\).

  Tedy pro \(\varepsilon=\frac12\) a libovolné \(n\) platí, že \(|s_{2n}-s_{n}|\ge \varepsilon\), tedy posloupnost částečných součtů nesplňuje Bolzano-Cauchyho podmínku a proto diverguje.

• Varianta 2

  Ukažte, že řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{\sqrt n}\) diverguje.

• Řešení

  \(s_{2n}-s_n= \frac1{\sqrt{n+1}}+\frac1{\sqrt{n+2}}+…+\frac1{\sqrt{2n}}\ge \frac{n}{\sqrt{2n}}=\frac{\sqrt{2n}}2\).

  Tedy pro \(\varepsilon=\frac{\sqrt{2}}2\) a libovolné \(n\) platí, že \(|s_{2n}-s_{n}|\ge \varepsilon\), tedy posloupnost částečných součtů diverguje.

• Varianta 3

  Vyšetřete konvergenci, resp. divergenci řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1+\frac1n\right)\).

• Řešení

  \(\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac1k\right)= \ln\left(\prod_{k=1}^n \left(1+\frac1k\right)\right)= \ln\left(\prod_{k=1}^n \frac{k+1}k\right)= \ln\left(\frac21\cdot\frac32\cdots\frac{n+1}n\right)= \ln({n+1}) \)

  Odtud tedy \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} s_n=\lim_{n\to \infty} \ln({n+1})= \infty \).

• Výsledek

  Řada diverguje.

• Varianta 4

  Nechť \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n = a \in \mathbb R\). Určete \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n+1}-a_n) \).

• Řešení

  Pro posloupnost částečných součtů platí

  \(\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n (a_k+1-a_k)=(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+…+(a_{n+1}-a_n)=a_{n+1}-a_1 \)

  Odtud tedy \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} s_n=\lim_{n\to \infty} a_{n+1}-a_1= a-a_1 \)

• Výsledek

  Součet řady je \(a-a_1\).