Součet řady

Za použití \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n=\ln 2 \) a \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}=e^a \) určete součet řad

Varianta 1
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} \)
Řešení
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\right)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}- \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\)
\(\displaystyle =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}- \left(\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{(-1)^1}1\right)-1= -\ln2-\ln2-1\).
Výsledek
Součet řady je \(-\ln 4-1\).
Varianta 2
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!} \)
Řešení
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}= 3+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!}\cdot\frac{n}{n-1}= 3+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)=\)
\(\displaystyle= 2+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{(n-2)!}+ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=2+e+e \)
Výsledek
Součet řady je \(2+2e\).
Varianta 3
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(n+1)}{n!} \)
Řešení
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(n+1)}{n!}= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^nn}{n!}+ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}= 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{(n-1)!}+e^2= 2\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}\right)+e^2=2(1+e^2)+e^2 \)
Výsledek
Součet řady je \(2+3e^2\).