Aproximace odmocnin
Úloha číslo: 2846
Určete limitu rekurentní posloupnosti \(a_1= 1\) a \(\displaystyle a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac c{a_n}\right)\), kde \(c\) je kladné reálné číslo.
S její pomocí spočítejte \(\sqrt 7\) na 4 desetinná místa.
Výsledek
Metodou podobně jako v předchozím příkladu ukážeme, že \(\displaystyle \lim a_n=\sqrt c\).
Pro zadanou přesnost stačí spočítat \(a_5\) a \(c=7\).
Máme \(a_1=1\), \(a_2=4\), \(a_3=\frac{23}{8}\), \(a_4=\frac{977}{368}\doteq 2{,}654\), \(a_5=\frac{1902497 }{719072}\doteq 2{,}6457670442 \), zatímco \(\sqrt 7 \doteq 2{,}64575131106459\).
Pozn. \(a_6=\frac{7238946623297}{2736064645568}\doteq 2{,}64575131111137 \), což se s \(\sqrt 7\) shoduje na devět desetinných míst.
