Monotonie s parametrem
Úloha číslo: 2844
Zjistěte, pro jaká reálná čísla \(x\) je následující posloupnost monotonní.
\(\displaystyle \left\{ \left( \frac{x^3}{3x-2} \right)^n \right\} \)
Nápověda
Rozmyslete si, jak závisí monotonie posloupnosti \(\{a^n\}\) v závislosti na parametru \(a\).
Řešení
Posloupnost není definovaná pro \(x=\frac23\).
Posloupnost je konstantní, je-li \(\displaystyle \frac{x^3}{3x-2}=0 \) nebo \(\displaystyle \frac{x^3}{3x-2}=1 \).
V prvém případě je \(x=0\), ve druhém je \(x\) kořenem kubické rovnice \(x^3-3x+2=0\), čili \(x=1\) (dvojnásobný kořen) nebo \(x=-2\).
Posloupnost alternuje, je-li \(\displaystyle \frac{x^3}{3x-2}<0 \). Je-li čitatel záporný, je i jmenovatel záporný. Tedy zbývá možnost čitatel kladný a jmenovatel záporný, což již přímočaře dává interval \(\left(0,\frac23\right)\).
Posloupnost je klesající pro \(\displaystyle 0<\frac{x^3}{3x-2}<1 \).
Pro \(x<0\) řešíme nerovnici \(x^3>3x-2\), což je splněno v itervalu \((-2{,}0)\).
Pro \(x>0\) řešíme nerovnici \(x^3<3x-2\), což nemá řešení.
V ostatních případech je \(\displaystyle \frac{x^3}{3x-2}>1 \).
To lze ověřit i rozborem případů, protože na \((-\infty,-2)\) platí \(x^3<3x-2\), a na \(\left(\frac23,\infty\right)\) platí \(x^3\ge 3x-2\). Navíc rovnost platí pouze pro \(x=1\), jinak je nerovnost ostrá.
Výsledek
Posloupnost je \( \begin{cases} \text{ konstantní } & \text{ pro } x\in \{-2{,}0,1\},\\ \text{ rostoucí } & \text{ pro } x\in (-\infty,-2)\cup \left(\frac23{,}1\right)\cup(1,\infty),\\ \text{ klesající } & \text{ pro } x\in (-2{,}0). \end{cases} \)
