Sbírka matematických úloh

Limity n-tých mocnin

Úloha číslo: 2842

• Varianta 1

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}n\right)^n\)

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{2}n\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{\frac12n}\right)^{\frac12n}\right)^2 = e^2 \)

• Výsledek

  Limita je rovna \(e^2\).

• Varianta 2

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}n\right)^{3n}\)

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}n\right)^{3n} = \lim_{n\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}n\right)^{n}\right)^{3} =e^3 \)

• Výsledek

  Limita je rovna \(e^3\).

• Varianta 3

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\)

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{e}=1 \)

• Výsledek

  Limita je rovna \(1\).

• Varianta 4

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{3}n\right)^n\)

• Nápověda

  Využijte řešení předchozích variant.

• Řešení

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{3}n\right)^n = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(1-\frac{9}{n^2}\right)^n}{\left(1+\frac{3}n\right)^n} = \frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{3}n\right)^n} = e^{-3} \)

  Alternativně lze vzužít substituci \(k=n-3\)

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{3}n\right)^n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n-3}n\right)^n = \lim_{k\to\infty} \left(\frac{k}{k+3}\right)^{k+3} = \frac1{ \lim\limits_{k\to\infty} \left(1+\frac3{k}\right)^{k}} \cdot \lim_{k\to\infty} \left(\frac{k}{k+3}\right)^{3} = \frac1{e^{3}} \cdot 1 \)

• Výsledek

  Limita je rovna \(e^{-3}\).

• Varianta 5

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+2}{n+5}\right)^{n+7}\)

• Řešení

  S užitím postupu z předchozí varianty

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+2}{n+5}\right)^{n+7}= \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{3}{n+5}\right)^{n+5}\left(\frac{n+2}{n+5}\right)^{2}=e^{-3}\cdot 1 \)

  Alternativně vydělením čitatele i jmenovatele \(n\):

  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+2}{n+5}\right)^{n+7}= \frac {\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{n+2}{n}\right)^{n+7}} {\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^{n+7}}= \frac{e^2}{e^5}=e^{-3} \)

• Výsledek

  Limita je rovna \(e^{-3}\).