Sbírka matematických úloh

Tvrzení o limitách

Úloha číslo: 2833

• Varianta 1

  \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n= a \Longleftrightarrow \lim_{n\to \infty} a_{n+1}=a \)

• Řešení

  Odvodíme z definice. Výrok \(\forall \varepsilon\ \exists n_0\ \forall n>n_0: |a_n-a|\le \varepsilon\) je ekvivalentní s výrokem \(\forall \varepsilon\ \exists n_1\ \forall n>n_1: |a_{n+1}-a|\le \varepsilon\) volbou \(n_1=n_0-1\).

• Varianta 2

  \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n= a \Longleftrightarrow \lim_{n\to \infty} a_{2n}=a \)

• Řešení

  Platí pouze dopředná implikace. Obrácená implikace neplatí např. pro posloupnost \((-1)^n\).

• Varianta 3

  \(\displaystyle (\exists n_0\in \mathbb N\ \forall n\ge n_0: a_n \le b_n) \Longrightarrow \lim_{n\to \infty} a_n \le \lim_{n\to \infty} b_n \)

• Řešení

  Tvrzení neplatí, protože limity nemusejí existovat, např. \(a_n=(-1)^n\), \(b_n=1\).

  V případě, že má pravá strana smysl, tvrzení platí.

• Varianta 4

  \(\displaystyle (\exists n_0\in \mathbb N\ \forall n\ge n_0: a_n < b_n) \Longrightarrow \lim_{n\to \infty} a_n < \lim_{n\to \infty} b_n \)

• Řešení

  Tvrzení neplatí ani když mají pravé strany smysl, např. pro posloupnosti \(a_n=\frac1{n+1}\), \(b_n=\frac1n\). Obě posloupnosti mají stejnou limitu.

• Varianta 5

  \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n < \lim_{n\to \infty} b_n \Longrightarrow (\exists n_0\in \mathbb N\ \forall n\ge n_0: a_n < b_n) \)

• Řešení

  Dle aritmetiky limit je \(\displaystyle c = \lim_{n\to \infty} b_n-a_n = \lim_{n\to \infty} b_n - \lim_{n\to \infty} a_n >0\), tedy od určitého \(n_0\) je \(b_n-a_n>0\).

• Varianta 6

  \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n =a \Longleftrightarrow \lim_{n\to \infty} b_n =a \)

  pro posloupnost \(b_n\) danou předpisem \(b_{2n-1}=a_n\), \(b_{2n}=0\).

• Řešení

  Dopředná implikace neplatí, protože \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} b_n\) neexistuje pokud \(a_n\) nekonverguje k 0.

  Platí pouze zpětná implikace, protože posloupnost \(\{a_n\}\) je podposloupnost \(\{b_n\}\).