Limita dle definice
Úloha číslo: 2832
Podle definice určete limitu posloupnosti
Varianta 1
\(\displaystyle \left\{ \frac1{n} \right\}_{n=1}^\infty\)
Řešení
Nejprve odhadneme, že hledaná limita je rovna \(0\). K pevnému \(\varepsilon>0\) máme nalézt \(n_0\in\mathbb N\) tak, aby platilo \[ \left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon \qquad \text{pro každé}\quad n\in\mathbb N,\ n\geq n_0. \] Zvolme \(n_0=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1\). Potom pro libovolné \(n\in\mathbb N\), \(n\geq n_0\), platí \( n\geq \left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1>\frac{1}{\varepsilon}. \) Tudíž \( \frac{1}{n}<\varepsilon, \) což můžeme zapsat v kýženém tvaru \( \left|\frac{1}{n}-0\right|<\varepsilon. \)
Výsledek
Posloupnost má limitu \(0\).
Varianta 2
\(\displaystyle \left\{ \frac1{\sqrt{n}} \right\}_{n=1}^\infty\)
Řešení
Odhadneme, že hledaná limita je rovna \(0\). Podle definice tedy máme k pevnému \(\varepsilon>0\) nalézt \(n_0\in\mathbb N\) tak, aby platilo \[ \left|\frac{1}{\sqrt{n}}-0\right|<\varepsilon \qquad \text{pro každé}\quad n\in\mathbb N,\ n\geq n_0. \] Požadovanou nerovnost si snadno upravíme na \(\sqrt{n}>\tfrac{1}{\varepsilon}\) což je ekvivalentní s \(n>\tfrac{1}{\varepsilon^2}\). Zvolme tedy \(n_0=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon^2}\right\rfloor+1\). Potom pro libovolné \(n\in\mathbb N\), \(n\geq n_0\), platí \( n\geq \left\lfloor\frac{1}{\varepsilon^2}\right\rfloor+1>\frac{1}{\varepsilon}. \) Tudíž \( \frac{1}{n}<\varepsilon^2, \) což můžeme zapsat v požadovaném tvaru \( \left|\frac{1}{\sqrt{n}}-0\right|<\varepsilon. \)
Výsledek
Limita posloupnosti je 0.
Varianta 3
\(\displaystyle \left\{ \log n \right\}_{n=1}^\infty\)
Řešení
Odhadneme, že hledaná limita je rovna \(\infty\). Podle definice tedy máme k pevnému \(K\in\mathbb R\) nalézt \(n_0\in\mathbb N\) tak, aby platilo \[ \log{n}>K \qquad \text{pro každé}\quad n\in\mathbb N,\ n\geq n_0. \] Hledanou nerovnost si snadno upravíme na \(n>e^K\), a proto zvolíme \(n_0=[e^K]+1\). Potom pro libovolné \(n\in\mathbb N\), \(n\geq n_0\), platí \( n\geq [e^K]+1>e^K, \) a tedy jak jsme požadovali \( \log{n}>K. \)
Výsledek
Posloupnost je neomezená, a má nevlastní limitu \(\infty\).
Varianta 4
\(\displaystyle \left\{ \frac1{1+n^2} \right\}_{n=1}^\infty\)
Řešení
Zkusíme dokázat, že limita je rovna 0.
Platí \(\frac1{1+n^2}>0\). Volíme \(n_0=\left\lceil\frac1{\sqrt\varepsilon}\right\rceil\).
Potom \(\frac1{1+n^2}\le \frac1{n_0^2}\le \varepsilon\).
Výsledek
Výsledná limita je rovna 0.
Varianta 5
\(\displaystyle \left\{ \frac{n+1}{n+2} \right\}_{n=1}^\infty\)
Řešení
Zkusíme dokázat, že limita je rovna 1.
Platí \(\frac{n+1}{n+2}<1\). Volíme \(n_0=\left\lceil\frac1{\varepsilon}\right\rceil\).
Potom \( 1-\frac{n+1}{n+2} =\frac{1}{n+2} <\frac1n \le\frac1{n_0} \le \varepsilon\).
Výsledek
Limita je rovna 1.
Varianta 6
\(\displaystyle \left\{ \sqrt[n]{a}\right\}_{n=1}^\infty\), kde \(a\) je kladné reálné číslo.
Nápověda
Zkuste posloupnost umocnit. Pro jednodušší odhad lze použít Bernoulliho nerovnost.
Řešení
Nejprve rozebereme případ \(a\ge1\), neboť pro taková \(a\) máme \(\sqrt[n]{a}\ge1\).
Pro dané \(\varepsilon\) volíme \(n_0=\left\lceil \frac{a}\varepsilon\right\rceil\). Potom pro \(n\ge n_0\) platí \(1+n\varepsilon \ge 1+n_0\varepsilon \ge 1+a\).
Odtud \( a\le 1+n\varepsilon \le (1+\varepsilon)^n\). Po odmocnění \(\sqrt[n]{a}\le 1+\varepsilon\) a odtud již \(\sqrt[n]{a}-1\le \varepsilon\).
Pro \(a<1\) je \(\sqrt[n]{a}< 1\). Položíme \(n_0=\left\lceil \frac1{\varepsilon a}\right\rceil\). Odtud \(a>\frac1{\varepsilon n}\ge \frac1{(1+\varepsilon)^n} \) a tedy \(\sqrt[n]{a}\ge \frac1{1+\varepsilon}> 1-\varepsilon\).
Pozn. s využitím aritmetiky limit by šel druhý případ vyřešit poněkud snáz:
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac1b} = \frac1{\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{b}}=\frac11=1 \) pro \(b=\frac1a>1\).
Výsledek
Hledaná limita je rovna 1.
Varianta 7
\(\displaystyle \left\{ \sin \frac1n\right\}_{n=1}^\infty\).
Nápověda
Použijte vhodný odhad funkce sinus.
Řešení
Použijeme odhad \(\sin x \le x\).
Pro dané \(\varepsilon\) zvolíme \(n_0=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1\). Potom pro libovolné \(n\in\mathbb N\), \(n\geq n_0\), platí \( \sin \frac1n \le \frac1n \le \frac1{n_0}\le \varepsilon \).
Poznámka: odhad \(\sin x \le x\) má názornou geometrickou interpretaci. V pravoúhlém trojůhelníku s jednotkovou přeponou je \(\sin x\) délka protilehlé odvěsny, kde však úhel \(x\) je měřen jako délka oblouku s jednotkovým poloměrem. Z obrázku je patrné, že oblouk musí být delší než odvěsna.
Výsledek
Limita je rovna 0.
