Iracoinální čísla jsou hustá
Úloha číslo: 2823
Dokažte, že množina iracionálních čísel je hustá v množině reálných čísel, tedy že na každém neprázdném otevřeném intervalu lze najít iracionální číslo. Můžete využívat skutečnost, že množina racionálních čísel je hustá v reálných číslech.
Řešení
Úlohu stačí vyřešit na omezeném intervalu \((a,b)\), protože každý neomezený interval obsahuje omezený podinterval. Využijeme-li hustotu racionálních čísel, dostaneme, že na intervalu \((a - \sqrt 2, b - \sqrt 2)\) leží racionální číslo \(q\). Potom \(q + \sqrt 2\) je iracionální číslo na intervalu \((a, b)\).
