Sbírka matematických úloh

Množinové operace

Úloha číslo: 2818

• Varianta 1

  \(A\cup B\)

• Řešení

  Horní mezí \(A\cup B\), musí být zároveň horní mezí \(A\) i \(B\). Proto horní meze \(A\cup B\) získáme průnikem horních mezí \(A\) s horními mezemi \(B\). Protože obě množiny jsou intervaly \(\langle\sup A,\infty)\) a \(\langle\sup B,\infty)\), jejich průnikem je interval \(\langle\max\{\sup A, \sup B\},\infty)\).

  Pro dolní meze analogicky.

• Výsledek

  \(\sup(A\cup B)=\max\{\sup A, \sup B\}\),\ \(\inf(A\cup B)=\min\{\inf A, \inf B\}\).

• Varianta 2

  \(A\cap B\), za předpokladu, že tento průnik je neprázdný.

• Řešení

  Každá horní mez \(A\) nebo \(B\) je i horní mezí \(A\cap B\). Horní meze \(A\cap B\) získáme sjednocením horních mezí \(A\) s horními mezemi \(B\). Protože obě množiny jsou intervaly \(\langle\sup A,\infty)\) a \(\langle\sup B,\infty)\), jejich sjednocením je interval \(\langle\min\{\sup A, \sup B\},\infty)\).

  Pro dolní meze analogicky.

• Výsledek

  \(\sup(A\cap B)=\min\{\sup A, \sup B\}\),\ \(\inf(A\cap B)=\max\{\inf A, \inf B\}\).

• Varianta 3

  \(A\setminus B\), za předpokladu, že tento rozdíl je neprázdný.

• Řešení

  Jediný vztah, který lze odvodit je, že horní meze \(A\) jsou i horními mezemi podmnožin \(A\), tedy i \(A\setminus B\).

  Volbou \(B\) lze supremum rozdílu podstatně vzdálit od \(\sup A\), je-li \(A\) dostatečně rozsáhlá. Naopak, pokud \(B\) doplníme o prvky mimo \(A\), můžeme tím ovlivnit hodnotu \(\sup B\) i \(\inf B\), aniž by to na supremum rozdílu mělo vliv.

  Pro dolní meze analogicky.

• Výsledek

  \(\sup (A\setminus B) \le \sup A\), \(\inf (A\setminus B) \ge \inf A\).

• Varianta 4

  \(\ominus A\) pro operaci \(\ominus\) definovanou jako \(\ominus A=\{-a: a\in A\}\)

• Řešení

  Platí, že \(a\) je horní mezí \(A\), právě když \(-a\) je dolní mezí \(\ominus A\). Dál již přímočaře.

  Pro dolní meze analogicky.

• Výsledek

  \(\sup(\ominus A)=-\inf A\),\ \(\inf(\ominus A)=-\sup A\).

• Varianta 5

  \(A\oplus B\) pro operaci \(\oplus\) definovanou jako \(A\oplus B=\{a+b: a\in A,\ b\in B\}\)

• Řešení

  Pro každé \(m\in A\oplus B\) existují, \(a\in A\), \(b\in B\), že \(m=a+b\). Navíc \(a\le \sup A\), \(b\le \sup B\), tedy \(\sup A+\sup B\) je horní mezí \(A\oplus B\).

  Pro \(s<\sup A+\sup B\) spočteme \(\varepsilon=\frac12(\sup A+\sup B-s)\). Nyní musí existovat \(a\in A\cap(\sup A-\varepsilon,\sup A\rangle\) i \(b\in B\cap(\sup B-\varepsilon,\sup B\rangle\), pro něž \(a+b>s\), tedy \(s\) nemůže být horní mezí \(A\oplus B\).

  Pro dolní meze analogicky.

• Výsledek

  \(\sup(A\oplus B)=\sup A + \sup B\),\ \(\inf(A\oplus B)=\inf A + \inf B\).