Sbírka matematických úloh

Suprema a infima konkrétních množin

Úloha číslo: 2817

• Varianta 1

  \(\displaystyle M=\left\{\frac1n,n\in\mathbb N\right\}\)

• Řešení

  Pro každé přirozené číslo \(n\) platí \(\frac1n\le 1\).
  Naopak, vezmeme-li \(a<1\), pak pro \(n=1\) dostáváme: \(\frac1n=1>a\), tedy \(a\) nemůže být horní mez.
  Množina horních mezí \(M\) je proto interval \(\langle1,\infty)\), odtud \(\sup(M)=1\).

  Podobně pro každé přirozené číslo \(n\) platí \(\frac1n> 0\).
  Naopak, vezmeme-li \(a>0\), pak pro \(n=\lceil \frac1a\rceil+1\) dostáváme: \(\frac1n<a\), tedy \(a\) nemůže být dolní mez.
  Množina dolních mezí \(M\) je interval \((-\infty,0\rangle\), odtud \(\inf(M)=0\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 2

  \(\displaystyle M=\left\{-\frac1n,n\in\mathbb N\right\}\)

• Řešení

  Podobně pro každé přirozené číslo \(n\) platí \(-\frac1n< 0\).
  Naopak, vezmeme-li \(a<0\), pak pro \(n=\lceil -\frac 1a\rceil+1\) dostáváme: \(-\frac1n<a\), tedy \(a\) nemůže být horní mez.
  Množina horních mezí \(M\) je interval \(\langle0,\infty)\), odtud \(\sup(M)=0\).

  Pro každé přirozené číslo \(n\) platí \(-\frac1n\ge -1\).
  Naopak, vezmeme-li \(a>-1\), pak pro \(n=-1\) dostáváme: \( \frac1n=-1>a\), tedy \(a\) nemůže být dolní mez.
  Množina dolních mezí \(M\) je proto interval \((-\infty,-1,\rangle\), odtud \(\inf(M)=-1\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=0\), \(\inf(M)=-1\).

• Varianta 3

  \( M=\{0{,}3; 0{,}33; 0{,}333; 0{,}3333; …\}\)

• Řešení

  Protože \(0{,}3<0{,}33<0{,}333…\), je \(0{,}3\) dolní mezí, která je zároveň prvkem \(M\), tedy je i infimem.

  Číslo \(\frac13\) je horní mezí. Pro \(a<\frac13\) stačí zvolit číslo \(0{,}3…3\) s více destinnými místy než je \(\log \left(\frac13-a\right)\), abychom dostali číslo větší než \(a\). Proto takové \(a\) nemůže být horní mezí.

• Výsledek

  \(\sup(M)=\frac13\), \(\inf(M)=\frac3{10}\).

• Varianta 4

  \(\displaystyle M=\left\{q: q<\sqrt{3},\ q\in\mathbb Q\right\}\)

• Řešení

  Vezmeme-li \(a<\sqrt{3}\), nelezneme mezi \(a\) a \(\sqrt{3}\) racionální číslo \(\frac{p}{q}\), například \(q=\left\lceil\frac{1}{\sqrt{3}-a}\right\rceil+1\), \(p=\left\lfloor\frac{a}{q}\right\rfloor+1\). Odtud \(a\) nemůže být horní mez.
  Množina horních mezí \(M\) je interval \(\langle\sqrt{3},\infty)\), odtud \(\sup(M)=\sqrt{3}\).

  Množina \(M\) je zdola neomezená, nemá proto žádou dolní mez a tedy ani žádné reálné infimum. Někdy bývá zvykem v tomto případě dodefinovat infimum jako \(-\infty\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=\sqrt{3}\), reálné infimum neexistuje.

• Varianta 5

  \( M=\{\sin x: x\in \langle 0, 2\pi)\}\)

• Řešení

  Množina \(M\) je obor hodnot funkce \(\sin\), tedy interval \(\langle-1{,}1\rangle\). Obě meze se nabývají, proto jsou supremy i infimy množiny \(M\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=-1\).

• Varianta 6

  \( M=\{\sin x: x\in (0, 2\pi)\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=-1\).

• Varianta 7

  \( M=\{\sin x: x\in (0, \pi)\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 8

  \(\displaystyle M=\left\{1-\frac1{n^2},n\in\mathbb N\right\}\)

• Řešení

  Množina horních mezí \(M\) je interval \(\langle1,\infty)\), odtud \(\sup(M)=1\).

  Množina dolních mezí \(M\) je interval \((-\infty,0\rangle\), odtud \(\inf(M)=0\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 9

  \(\displaystyle M=\left\{\frac{n-1}n,n\in\mathbb Z\setminus\{0\}\right\}\)

• Řešení

  Pro kladná \(n\) obsahuje \(M\) zlomky \(0,\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,…\).

  Pro záporná \(n\) obsahuje \(M\) zlomky \(2,\frac32,\frac43,\frac54,\frac65,…\).

  Množina horních mezí \(M\) je tedy interval \(\langle2,\infty)\), odtud \(\sup(M)=2\).

  Množina dolních mezí \(M\) je interval \((-\infty,0\rangle\), odtud \(\inf(M)=0\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 10

  \(\displaystyle M=\left\{\frac{p}{p+q},p,q\in\mathbb N\right\}\)

• Řešení

  Protože pro každé přirozené \(p,q\) je \(p<p+q\), odtud dostáváme \(\frac{p}{p+q}<1\).
  Vezmeme-li \(a<1\), je pro \(q=1\) a \(p=\lceil \frac1{1-a} \rceil\), \(\frac{p}{p+q}<a\) tedy \(a\) nemůže být horní mez.
  Množina horních mezí \(M\) je interval \(\langle1,\infty)\), odtud \(\sup(M)=1\).

  Podobně je podíl kladných čísel také kladný.
  Vezmeme-li \(a>0\), je pro \(p=1\) a \(q=\lceil \frac1a \rceil\), \(\frac{p}{p+q}>a\), tedy \(a\) nemůže být dolní mez.
  Množina dolních mezí \(M\) je interval \((-\infty,0\rangle\), odtud \(\inf(M)=0\).

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 11

  \(\displaystyle M=\left\{\frac{n+(-1)^n}n,n\in\mathbb N\right\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=\frac32\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 12

  \(\displaystyle M=\left\{n^{(-1)^n},n\in\mathbb N\right\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)\) neexistuje, \(\inf(M)=0\).

• Varianta 13

  \( M=\{n^2-m^2: n,m\in \mathbb N\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)\) ani \(\inf(M)\) neexistuje.

• Varianta 14

  \( M=\{n^2-m^2: n,m\in \mathbb N, n>m\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)\) neexistuje, \(\inf(M)=3\).

• Varianta 15

  \( M=\{n^2-m^2: n,m\in \mathbb N, n\le m\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=0\), \(\inf(M)\) neexistuje.

• Varianta 16

  \( M=\{2^{-n}+3^{-n}: n\in \mathbb N\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=\frac56\), \(\inf(M)=0\).

• Varianta 17

  \( M=\{2^{-n}+3^{-n}: n\in \mathbb Z\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)\) neexistuje, \(\inf(M)=0\).

• Varianta 18

  \( M=\{5^{(-1)^j3^k}: j,k\in \mathbb Z\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)\) neexistuje, \(\inf(M)=0\).

• Varianta 19

  \(\displaystyle M=\left\{\cos\left(\frac{n+1}n\pi\right),n\in\mathbb N\right\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=-1\).

• Varianta 20

  \(\displaystyle M=\left\{\cos\left(\frac{n+1}n\pi\right),n\in\mathbb N, n \text{ sudé}\right\}\)

• Varianta 21

  \(\displaystyle M=\left\{\cos\left(\frac{n+1}n\pi\right),n\in\mathbb N, n \text{ liché}\right\}\)

• Výsledek

  \(\sup(M)=1\), \(\inf(M)=-1\).