Charakterizace identity rovností
Úloha číslo: 2808
Nechť \(f: X \to X\) a nechť pro všechna \(g: X\to X\) platí \(f\circ g=g\circ f\). Dokažte, že pak je \(f\) identické zobrazení.
Nápověda
Pokud \(f\) není identita, hledejte pro spor vhodné \(g\).
Řešení
Nejprve poznamenejme, že identita \(id\) splňuje \(id\circ g=g=g\circ id\).
Postupujeme sporem, nechť existují navzájem různá \(x\) a \(y\) taková, že \(f(x)=y\).
Pokud \(f(y)=y\), zvolíme \(g\) tak, aby \(g(y)=x\). Potom \((f\circ g)(y)=f(g(y))=f(x)=y\), ale \((g\circ f)(y)=g(f(y))=g(y)=x\), spor.
Pokud \(f(y)\ne y\), zvolíme \(g\) tak, aby \(g(x)=g(y)=y\). Potom \((f\circ g)(x)=f(g(x))=f(y)\ne y\), ale \((g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=y\), spor.
