Charakterizace zobrazení

Charakterizujte zobrazení \(f:A\to B\), pro která platí:

Varianta 1
\(\forall M\subseteq A: f^{-1}(f(M))=M\)
Řešení
Je třeba, aby \(f\) bylo prosté.
Není-li prosté, existují \(x,x'\in A: f(x)=f(x')\). Potom \(f^{-1}(f(\{x\}))\subseteq \{x,x'\} \ne \{x\}\).

Obecně platí \(\forall M\subseteq A: f^{-1}(f(M))\supseteq M\). Pokud by pro nějakou \(M\) existovalo \(x'\in f^{-1}(f(M))\setminus M\), nalezneme \(x\in M\) takové, že \(x'\in f^{-1}(f(x))\) a odtud \(f(x')=f(x)\), čili \(f\) není prosté.
Výsledek
Vztah platí právě a pouze pro prostá zobrazení \(f\).
Varianta 2
\(\forall N\subseteq B: f(f^{-1}(N))=N\)
Řešení
Je třeba, aby \(f\) bylo zobrazení na.
Není-li \(f\) na, existuje \(y\in B: y\notin f(A)\). Potom máme \(f(f^{-1}(\{y\}))=\emptyset\ne \{y\}\).
Obecně platí \(\forall N\subseteq B: f(f^{-1}(N))\subseteq N\). Pokud by pro nějakou \(N\) existovalo \(y\in N\setminus f(f^{-1}(N))\), dostaneme \(f^{-1}(y)=\emptyset\), čili \(f\) není na.
Výsledek
Vztah platí právě a pouze pro zobrazení \(f\), která jsou na.