Sbírka matematických úloh

Obrazy a vzory průniků, sjednocení a rozdílů

Úloha číslo: 2804

• Varianta 1

  \(f(M\cup M')\ \Box\ f(M) \cup f(M')\).

• Řešení

  Zřejmě \(f(M)\subseteq f(M\cup M')\) i \(f(M') \subseteq f(M\cup M')\), čili \(f(M) \cup f(M')\subseteq f(M\cup M')\).

  Je-li \(y\in f(M\cup M')\), potom existuje \(x\in M\cup M'\) takové, že \(f(x)=y\). Pro \(x\in M\) máme \(y\in f(M)\), podobně \(x\in M'\) dává \(y\in f(M')\). Vzhledem k tomu, že platí alespoň jedna z možností \(x\in M\) nebo \(x\in M'\), máme \(y \in f(M) \cup f(M')\), čili \(f(M\cup M')\subseteq f(M) \cup f(M')\).

• Výsledek

  Platí \(f(M\cup M') = f(M) \cup f(M')\).

• Varianta 2

  \(f(M\cap M')\ \Box\ f(M) \cap f(M')\).

• Řešení

  Pro \(x\in M\cap M'\) je \(f(x)\in f(M)\) i \(f(x)\in f(M')\), čili \(f(M\cap M') \subseteq f(M) \cap f(M')\).

  Rovnost neplatí např. pro zobrazení \(f(x)=x^2\) a \(M=\{1\}\), \(M=\{-1\}\).

  Rovnost platí pouze pro prostá zobrazení.
  Je-li \(f\) prosté a \(y\in f(M) \cap f(M')\), existuje právě jedno \(x\in A\) takové, že \(f(x)=y\). Potom nutně \(x\in M \land x\in M'\) a odtud \(y\in f(M\cap M')\).
  Naopak, není-li \(f\) prosté, zvolíme různá \(x,x': f(x)=f(x')\) a odvodíme \(f(\{x\}\cap\{x'\})=f(\emptyset)=\emptyset\ne f(\{x\}) \cap f(\{x'\})\).

• Výsledek

  Platí \(f(M\cap M') \subseteq f(M) \cap f(M')\).
  Rovnost platí právě když \(f\) je prosté zobrazení.

• Varianta 3

  \(f(M\setminus M')\ \Box\ f(M) \setminus f(M')\).

• Řešení

  Pro \(y\in f(M)\setminus f(M')\) platí zároveň \(y\in f(M)\) a \(y\notin f(M')\). Dle první existuje \(x\in M\) takové, že \(f(x)=y\), ovšem dle druhé pro všechna \(x'\in M'\) platí \(f(x')\ne y\). Odtud \(x\in M\setminus M'\) a tedy \(y\in f(M\setminus M')\).

  Rovnost neplatí např. pro zobrazení \(f(x)=x^2\) a \(M=\{1\}\), \(M=\{-1\}\).

  Rovnost platí pouze pro prostá zobrazení.
  Neplatí-li rovnost, existuje \(y\in f(M\setminus M')\) takové, že \(y\notin f(M) \setminus f(M')\). Potom ovšem \(y\) má vzor v \(M\setminus M'\), ale také v \(M'\), a tudíž \(f\) není prosté.
  Naopak, není-li \(f\) prosté, zvolíme různá \(x,x': f(x)=f(x')\) a položíme \(M=\{x\}, M'=\{x'\}\), potom \(f(M\setminus M')=f(\{x\})\ne \emptyset=f(M) \setminus f(M')\).

• Výsledek

  Platí \(f(M\setminus M')\supseteq f(M) \setminus f(M')\).
  Rovnost platí právě když \(f\) je prosté zobrazení.

• Varianta 4

  \(f^{-1}(N\cup N')\ \Box\ f^{-1}(N) \cup f^{-1}(N')\).

• Řešení

  Zřejmě \(f^{-1}(N)\subseteq f^{-1}(N\cup N')\) i \(f^{-1}(N') \subseteq f(N\cup N')\), čili \(f^{-1}(N) \cup f(N')\subseteq f^{-1}(N\cup N')\).

  Je-li \(x\in f^{-1}(N\cup N')\), potom \(f(x)\in N\cup N'\) tedy buď \(f(x)\in N\) nebo \(f(x)\in N'\). V obou případech máme \(x \in f^{-1}(N) \cup f^{-1}(N')\), čili \(f^{-1}(N\cup N')\subseteq f^{-1}(N) \cup f^{-1}(N')\).

• Výsledek

  Platí \(f^{-1}(N\cup N')= f^{-1}(N) \cup f^{-1}(N')\).

• Varianta 5

  \(f^{-1}(N\cap N')\ \Box\ f^{-1}(N) \cap f^{-1}(N')\).

• Řešení

  Je-li \(x\in f^{-1}(N)\) a zároveň \(x\in f^{-1}(N')\), je \(f(x)\in N\cap N'\).
  Odtud plyne inkluze \(f^{-1}(N) \cap f^{-1}(N')\subseteq f^{-1}(N\cap N')\).

  Je-li \(x \in f^{-1}(N\cap N')\), máme \(f(x)\in N\) a také \(f(x)\in N'\).
  Proto platí i obrácená inkluze \(f^{-1}(N\cap N') \subseteq f^{-1}(N) \cap f^{-1}(N')\)

• Výsledek

  Platí \(f^{-1}(N\cap N')= f^{-1}(N) \cap f^{-1}(N')\).

• Varianta 6

  \(f^{-1}(N\setminus N')\ \Box\ f^{-1}(N) \setminus f^{-1}(N')\).

• Řešení

  Pro libovolné \(x\) platí \(x\in f^{-1}(N\setminus N')\), právě když \(f(x)\in N\) a zároveň \(f(x)\notin N'\). To je ekvivalentní \(x\in f^{-1}(N) \setminus f^{-1}(N')\).

• Výsledek

  Platí \(f^{-1}(N\setminus N')= f^{-1}(N) \setminus f^{-1}(N')\).