Sbírka matematických úloh

AG nerovnost

Úloha číslo: 2791

• Varianta 1

  Pro \(n=2\).

• Řešení

  \( \displaystyle \sqrt{x_1x_2}\le \frac{x_1+x_2}2 \iff 2\sqrt{x_1x_2}\le x_1+x_2 \iff 4x_1x_2 \le x_1^2 + 2x_1x_2+x_2^2 \iff \\ x_1^2 - 2x_1x_2+x_2^2\ge 0 \iff (x_1-x_2)^2 \ge 0 \)

  Nezápornost je potřeba ze dvou důvodů: výraz \(x_1x_2\) pod odmocninou musí být nezáporný a také, aby byla platná druhá úprava, musí být výraz \(x_1+x_2\) též nezáporný.

• Varianta 2

  Pro \(n\) mocninu dvojky.

• Řešení

  Předpokládáme platnost pro \(n\) a \(n=2\), dokazujeme pro \(2n\).

  \( \displaystyle \sqrt[2n]{x_1\cdots x_{2n}} =\sqrt{\sqrt[n]{x_1\cdots x_{n}}\sqrt[n]{x_{n+1}\cdots x_{2n}}} \le \frac12\left(\sqrt[n]{x_1\cdots x_{n}}+\sqrt[n]{x_{n+1}\cdots x_{2n}}\right)\le \\ \le \frac12\left(\frac{x_1+…+x_n}n+\frac{x_{n+1}+…+x_{2n}}n\right) =\frac{x_1+…+x_{2n}}{2n}\)

  V první nerovnosti jsme použili předpoklad pro \(n=2\), ve druhé pro \(n\).

• Varianta 3

  Pro libovolné \(n\in \mathbb N\).

• Nápověda

  Ukažte, že z platnosti pro \(n+1\) plyne i tvrzení pro \(n\).
  Volte \(x_{n+1}\) tak, aby bylo snadné zkrátit přidaný výraz na levé straně.

• Řešení

  Nejprve upravíme

  \( \displaystyle \sqrt[n+1]{x_1x_2\cdots x_{n+1}} \le \frac{x_1+x_2+…+x_{n+1}}{n+1} \iff (n+1)^{n+1}{x_1x_2\cdots x_{n+1}} \le (x_1+x_2+…+x_{n+1})^{n+1} \)

  Volíme \(x_{n+1}=\frac1n(x_1+…+x_n)\), čímž dostaneme

  \( \displaystyle \frac{(n+1)^{n+1}}nx_1x_2\cdots x_n(x_1+x_2+…+x_n) \le \left(\left(1+\frac1n\right)(x_1+x_2+…+x_n)\right)^{n+1} \iff \\ \frac{(n+1)^{n+1}}n x_1x_2\cdots x_n \le \left(\frac{n+1}n\right)^{n+1}(x_1+x_2+…+x_n)^n \iff\\ n^{n}{x_1x_2\cdots x_n} \le (x_1+x_2+…+x_n)^{n}\iff \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_{n}} \le \frac{x_1+x_2+…+x_{n}}{n} \)