Bernoulliho nerovnost
Úloha číslo: 2790
Dokažte, že pro \(n\in \mathbb N\) a \(x\in \mathbb R,\ x> -1\) platí \((1+x)^n \ge 1+nx\).
Řešení
Pro \(n=1\) platí \(1+x\ge 1+x\).
Dokazujeme pro \(n+1\):
\((1+x)^{n+1}=(1+x)^n(1+x)\ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\ge 1+(n+1)x \).Všimněte si, že v první nerovnosti jsme využli předpoklad nezápornosti \(1+x\).
